基于改进观测方程的非线性恢复力免模型识别方法

基于改进观测方程的非线性恢复力免模型识别方法

齐梦晨，张肖雄，贺佳

(湖南大学 土木工程学院 风工程与桥梁工程湖南省重点实验室，湖南 长沙 410082)

摘 要：现有的非线性恢复力参数化识别方法需已知非线性模型，并明确模型中参数的物理意义，而非参数化方法(如基于各类多项式的识别方法)往往难以准确识别突变处的恢复力。为进一步改进方法，提出一种非线性恢复力免模型识别法。该方法利用改进的观测方程，将非线性恢复力视作虚拟外激励，无需对非线性恢复力做参数化或非参数化模型假设，利用最小二乘和扩展卡尔曼滤波原理，同步识别结构参数和非线性恢复力，并且通过多次整体迭代保证识别结果稳定收敛。以含有Bingham模型和分段线性系统的5层框架数值模型为例，验证了该方法的有效性，并将其识别结果与基于切比雪夫多项式模型的非参数化识别方法进行对比，体现了该方法在识别恢复力非平滑处的优越性。

关键词：非线性恢复力；全局迭代；扩展卡尔曼滤波；虚拟外激励；免模型识别；

土木结构受某些因素影响，例如强动力荷载、疲劳累积、环境腐蚀等，易产生不同程度的损伤，从而影响结构安全、缩短使用寿命，甚至产生破坏，给人民生命财产造成损失。因此，有效识别结构损伤、评估结构健康状况显得十分重要。基于结构动力响应信息，识别结构参数变化，进而判断结构损伤程度是目前损伤识别常用方法之一[1-2]。然而，在动力荷载作用下，结构损伤的发生、发展过程往往具有非线性特征，基于结构模态信息或特征值提取的损伤识别方法将不再适用，因此，发展适合非线性系统的损伤识别方法具有重要意义。非线性恢复力(Nonlinear Restoring Force, NRF)往往与结构速度或位移有关，不仅可以表征结构非线性发生发展的过程，还可以定量评估结构在振动过程中耗能特性，因此，研究结构非线性恢复力识别方法对非线性结构损伤识别具有重要的理论和现实意义。目前，非线性恢复力的识别方法基本可分为参数化识别和非参数化识别。参数化识别方法以非线性恢复力模型为基础，并往往要求模型参数具有物理意义。非线性模型众多，因此，针对不同的对象、不同的研究目标，有不同的参数化识别方法。由于篇幅限制和研究相关性，本文仅给出了近年来发展的基于扩展卡尔曼滤波(Extended Kalman Filter, EKF)的一些非线性参数化识别方法。基于EKF算法，LEI等[3]提出了部分观测信息下的非线性参数识别方法，并通过Bouc-Wen模型数值算例验证了方法的有效性。利用直接微分方法，Ebrahimian 等[4]提出了基于EKF的非线性模型修正方法。通过依次采用EKF和无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter, UKF)，LIU等[5]提出了非线性系统参数的分步识别方法。针对非线性时变系统，XIAO等[6]提出了基于EKF的自适应识别法。为考虑模型非确定性，Astroza等[7-8]提出了基于自适应非线性模型修正方法，并与基于卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)的模型修正方法进行了比较。以上各种基于EKF的非线性识别方法，在有效识别了非线性参数后，均能计算得到结构的非线性恢复力。然而，一旦非线性模型不确定，以上方法就不再适用，因此，不少学者开展了非参数化识别方法的研究。类似的，这里仅给出了基于EKF的一些非参数化识别方法。XU等[9-10]提出了基于双重切比雪夫多项式的非线性恢复力识别方法，并通过安装有形状记忆合金阻尼器的钢框架模型实验验证了方法的可行性。LIU等[11]将非线性系统等效线性化后，采用EKF对非线性进行定位，进而基于UKF识别该用幂级数多项式描述的非线性恢复力。利用幂级数多项式表征NRF，LEI等[12-13]提出了基于等价线性理论和EKF的非线性识别方法。ZHANG等[14]将非线性恢复力线性化，根据响应重构识别弱非线性框架的刚度和阻尼。SU等[15]提出两步非线性恢复力识别法，在结构非线性行为较弱时，将非线性系统等效成线性系统，基于EKF原理识别结构参数后，再将非线性恢复力视作“未知外激励”采用KF-UI(Kalman Filter with unknown input)算法进行识别。利用线性结构参数，李靖等[16]提出了基于等价线性原理和UKF的NRF免参数识别方法。同样利用线性结构参数，雷鹰等[17]借助EKF和最小二乘(Least Squares Estimation, LSE)对结构橡胶支座非线性部分免参数识别。许斌等[18-19]还提出基于切比雪夫多项式和幂级多项式的EKF免参数识别方法。以上基于各类多项式的非参数识别方法均能有效识别结构的非线性特征，然而，在某种程度上，这些方法仍依赖于选取的非参数化模型的合理性和有效性，同时，由于多项式模型的本身的特性，在非线性恢复力非平滑处往往难以实现可靠识别。本文提出一种基于改进观测方程的非线性恢复力免模型识别方法，该方法将非线性恢复力视为“虚拟外激励”，利用投影矩阵，获得了一种不显式包含该“虚拟外激励”的观测方程，基于LSE和EKF原理，实现了结构状态的递推估计和非线性恢复力的同步识别。此外，为确保识别结果稳定收敛，该方法在一次迭代过程结束时，将递推估计的结构参数最终识别值作为下一个迭代的初始值，重复上述过程，直至满足收敛条件。

1 理论推导

一般的，非线性结构的运动平衡方程可写成：

(1)

式中：M，C和K分别为质量、阻尼和刚度矩阵；，和分别为结构加速度、速度和位移响应；为待识别的非线性恢复力；为结构外激励，文中假设已知；ψ和φ分别为和的影响矩阵。

将非线性恢复力视作“虚拟外激励”，则式(1)可写成，

(2)

引入结构，其中θ是由结构刚度、阻尼构成的参数向量。对求导可得：

新修订反不正当竞争法的顶层设计与实施中的疑难问题探讨.........................................................................郑友德 王活涛 01.03

(3)

式中：为包含扩展状态向量和待识别的非线性恢复力的状态方程，如式(4)所示。w(t)为均值为0，协方差为Q(t)的系统噪声。

(4)

令和分别为和在第k个时间步的估计值，将式(3)按一阶泰勒级数展开，可得：

在对小学语文教学课堂展开变革的过程中，可以采用以下几种方式。第一，给予学生自主评价的空间，在此过程中展开自我评价，这一过程是学生展开自我反省的过程。学生通过自我反省能够认识到自己存在的不足，从而展开针对性的改正，因此教师在实际教学过程中需要给予学生一定的时间使其展开自我反省。第二，关注学生的学习进程，语文教学中的重点内容不仅仅在于知识，而在于对学生的能力展开培养，学生学习的过程就是一个主动的过程，因此教师需要降低学生在课堂中的被动性质。例如，教师对学生发出的信息展开实时反馈，观察学生在学习过程中习惯以及学习方式等，在此基础上制订相应的教学计划。

(5)

其中

(6)

文中假设观测了部分加速度响应，则离散化的观测方程为：

那个年代，灶口吃不饱、柴火不够烧是常态。用树枝用秸秆当柴火未免奢侈，更多的人家烧的是干牛粪饼和枯茅草。我小时候，冬天上学要背着粪筐，上学路上要捡牛粪饼，给学校烧炉子用。当然，牛粪饼是不能直接点燃的，需要用底柴，那底柴往往就是枯茅草。

(7)

式中：yk为第k步的加速度响应观测值；L为位置观测矩阵；vk为均值为0；协方差为Rk的观测噪声。

取 ，则式(7)可写成：

(8)

根据最小二乘原理，可表示为：

(9)

式(7)和式(8)之间的估计误差可写成：

本实验以枸杞子对照药材为研究对象，希望通过不同的预处理方法，改善其粉碎过程中出现的黏附、粘连等现象。通过考察不同的预处理方法处理后的药材，与直接粉碎的枸杞子药材相比较，在满足特性量值未发生显著变化的前提下，找到一种或几种适合含糖量高、黏性大、不易粉碎的中药材预处理方法，既提高其粉碎效率，又为后续的分装工作提供便利。同时，通过控制粉碎环境的湿度，避免药材在粉碎过程中吸潮。

(10)

其中：I为单位矩阵，为投影矩阵。由式(7)和式(8)可知，估计误差趋近于0，则式(9)可进一步写成：

(11)

其中：。式(11)称为改进的观测方程，对比式(7)可以看出，改进的观测方程中不显式包含未知的非线性恢复力这一项。此时，在式(11)中，待识别量只有扩展的结构状态向量，故基于EKF原理，可以获得状态向量的递推表达式。

此时，先验估计可表示为：

1997年秋，廉小花生下一个男孩，取名徐任天。1998年9月一天早上，廉小花把刚借到的学费给徐云天。这时，一岁的弟弟突然冷汗淋淋、哭闹不止。廉小花背起儿子又放下，徐云天猜出继母是没钱带弟弟看病，把钱掏了出来。廉小花说道：“妈有钱，你上学去吧，我带你弟去医院。”徐云天信以为真地走了。

(12)

结合式(4)，先验估计误差，可以表示为：

(13)

此时，先验估计误差协方差矩阵为：

(14)

其中

(15)

基于式(11)和EKF原理，后验估计可由下式求得：

(16)

式中：为t = (k+1)×Δt时刻的增益矩阵。

原材料要求：水泥使用合格袋装水泥；砂含泥量小于5%；砌石的材质坚实、新鲜，无风化剥落层或裂纹，表面无污垢、水锈等杂质。

类似的，后验估计误差为：

(17)

其中：可由式(14)求得，此时取。

图6显示了本文所提模型带控制因子与不带控制因子的差别。由于开关攻击会出现不正常的信任波动,所以本文从信任波动的角度设计了控制因子,目的是降低开关攻击节点的值域范围。当引入控制因子后,一旦j的信任值出现不正常波动,那么节点j的信任值域范围将会向下平移,因此更有利于降低开关攻击节点的信任值。

“一带一路”为中国沿线的一些国家带来了发展机遇，也为国内的一些企业创造了向外投资的机会。在发展的过程中，税收是不可避免的一个话题。做好税收的服务对于“一带一路”倡议具有重大意义，很大程度上鼓励了周边国家的积极性，消除由国别不同而带来的税收产生的矛盾，促进贸易投资更加自由与便利。创造一个更加公平的收税环境，对于“一带一路”的发展是十分有利的。

后验估计误差协方差矩阵为：

(18)

EKF算法是在最小方差准则下的一类滤波方法，可实现状态向量的线性无偏最小方差估计，其关键就是确定增益矩阵。此时，根据EKF原理，对的迹求偏导，并使其导数为0，可得：

(19)

由以上可见，式(12)，(13)，(16)，(18)和(19)给出了基于EKF的扩展状态向量Z(t)的递推识别方法。利用式(16)获得的后验估计，根据式(9)可得结构在t=(k+1)×Δt时刻的非线性恢复力：

(20)

以上为结构状态和非线性恢复力的一次递推估计过程，流程如图1所示，由图1可以看出，当对所有数据(假设总共有m个采样点)进行了滤波处理后，能够从扩展状态向量的最终估计值中得到结构本身的刚度和阻尼参数的最终识别值，记为。

需要注意的是，滤波结束时，一方面，该识别值可能并未完全收敛；另一方面，难以判断该识别值是否收敛于真实值附近。此外，初始值的大小也会对识别结果的精度和收敛速率产生一定的影响。因此，本文进一步提出了全局迭代的非线性恢复力免模型识别算法，即将结构参数最终识别值赋值给下一次迭代的初始值，再次进行图1所示的递推流程，对上述过程多次迭代，直至满足收敛条件，计算流程如图2所示。

图1 基于EKF的非线性恢复力免模型识别流程图

Fig. 1 Flowchart of EKF-based NRF identification approach

图2 基于EKF的全局迭代流程图

Fig. 2 Flowchart of global iteration of EKF-based approach

为了确定迭代何时收敛，引入如下目标函数：作为判断收敛的条件，其中δ为定义的误差值，和分别为结构参数在同一迭代过程中的初始值和最终识别值，为无穷 范数。

2 数值算例

为了验证算法的有效性，对图3所示的含有非线性构件的5层框架结构在2种工况下的非线性恢复力进行了免模型识别。结构参数设为mi=500 kg，ki =1.5×105 N/m。这里，考虑底层分别存在2种不同的非线性模型，即Bingham模型和分段线性模型。此外，为考察外激励位置和形式对识别结果的影响，分别考虑了2种荷载工况，即作用于结构第2层的随机激励和作用于基底的地震荷载。

第二，加大对客源地广告投放力度，在本县境内的105,316国道沿线及高速公路进出口处设立相应的旅游交通标示牌，进一步树立和宣传永修旅游的整体品牌形象。同时以周边省会城市办事处为依托，开辟和发展庐山西海旅游新市场和新客源，建立好辐射网络，打响庐山西海。

图3 数值模型

Fig. 3 Numerical model

2.1 工况1：Bingham模型

在工况1中，假设随机外激励作用于结构第2层，非线性构件的力学行为由Bingham模型描述，其数学表达式为

(21)

其中：为层间速度，均为Bingham模型参数，这里取，，=0 N。外激励作用时间为3 s，如图4所示。

认知弹性理论是由斯皮诺等人于1990年提出（Cognitive Flexibility Theory）：“所谓认知弹性，意指以多种方式同时重建自己的知识，以便对发生根本变化的情境领域做出适宜反应。这既是知识表征方式（超越单一概念维度的多维度表征）的功能，又是作用于心理表征的各种加工过程（不仅是对完形的修复，而且是对一整套图式的加工过程）的功能”。（高文，1998），关于认知弹性理论，其主要观点如下：

图4 随机外激励

Fig. 4 Random excitation

此工况中，结构阻尼采用瑞利阻尼模型，阻尼系数取值α=0.220 3；β=0.003 1。结构响应由龙格库塔法计算得出，计算时间步长为0.001 s。由于实际情况中，实测信号不可避免地存在噪声，故在观测信号中引入5%的噪声。取结构第1，2，3和5层的加速度响应作为观测量，假设结构参数初始值为真实值的50%。并且假定当δ<0.00 5时，迭代过程结束。

计算过程在迭代4次后结束，结构参数最终识别结果及相对误差如表1所示。可以看出，最大误差只有-1.04%，识别结果相对准确。图5进一步给出了第1次迭代和最后一次迭代的参数识别结果，受篇幅限制，这里仅给出了第一层的刚度k1以及阻尼系数α的识别结果。由图中不难看出，在第1次迭代中，虽然刚度识别结果较好，但是阻尼系数并未稳定收敛；在最后一次迭代中，刚度和阻尼系数在整个递推过程中均稳定收敛于真实值附近。图6为识别的NRF，可以看出识别值与真实值吻合 较好。

表1 结构参数识别结果

Table 1 Identified Structural parameters

参数真实值识别值 迭代4次误差/% k1/(kN∙m-1)150149.930 k2/(kN∙m-1)150149.87-0.06 k3/(kN∙m-1)150149.82-0.08 k4/(kN∙m-1)150149.69-0.09 k5/(kN∙m-1)150150.360.23 α0.220 30.218 0-1.04 β0.003 10.003 10

2.2 工况2：分段线性模型

工况2假设以峰值加速度为3.4g的El Centro地震波作用于该结构，底层的非线性模型采用分段线性模型，如图7所示，其表达式如下：

(22)

式中，，表示模型线刚度；s0表示临界相对位移；s表示层间相对位移，取kp1= 12 kN/m，kp2= 4 kN/m，s0= 0.008 m。

上式中除了参考距离d0可以人为拟定外(本次实验设置d0=1m)，其它参数的估计需要用到已知数据，即通过已知数据来估计路径损耗指数n和参考信号强度P0。

(a) k1(第1次迭代)；(b) k1(第4次迭代)；(c) α(第1次迭代)；(d) α(第4次迭代)

图5 参数识别结果

Fig. 5 Identified structural parameters

(a) 时程曲线；(b) 滞回曲线

图6 NRF识别结果

Fig. 6 Identified NRF

为考察阻尼的影响，该工况中结构采用黏滞阻尼模型，取值为ci=350 (N∙s)/m，(i =1,2,…,5)。结构非线性时程响应同样由龙格库塔法求得，计算步长设为0.001 s。假设结构第1，2，3和5层的加速度响应为观测量，考虑5%的噪声影响。结构参数初始值取为结构参数真实值的30%，同样假定当δ<0.005时，迭代过程结束。

识别过程在迭代3次后结束，最终识别结果及相对误差如表2所示，从表2中不难看出，最大识别误差为-2.62%，识别结果可靠。为进一步了解计算过程中参数收敛情况，图8给出了第1次和最后一次迭代过程中的结构刚度和阻尼系数的识别情况，由于篇幅限制，仅给出了第4层(未观测加速度层)的结构参数识别过程。从图8中同样可以看出，在第1次迭代过程中，虽然结构刚度参数收敛得较好，但是阻尼系数不能稳定收敛；在最后一次迭代中，刚度和阻尼参数均稳定收敛于真实值。

图7 分段线性模型

Fig. 7 Piecewise linear model

表2 结构参数识别结果

Table 2 Identified structural parameters

参数真实值识别值参数真实值识别值 迭代3次误差/%迭代3次误差/% k1/(kN∙m-1)150.00149.95-0.03c1/(N∙s∙m-1)350.00350.630.18 k2/(kN∙m-1)150.00149.98-0.01c2/(N∙s∙m-1)350.00340.84-2.62 k3/(kN∙m-1)150.00149.92-0.05c3/(N∙s∙m-1)350.00347.97-0.58 k4/(kN∙m-1)150.00150.090.06c4/(N∙s∙m-1)350.00353.280.94 k5/(kN∙m-1)150.00149.86-0.09c5/(N∙s∙m-1)350.00347.99-0.57

(a) k4(第1次迭代)；(b) k4(第3次迭代)；(c) c4(第1次迭代)；(d) c4(第3次迭代)

图8 结构参数识别结果

Fig. 8 Identified structural parameters

为了表明算法在识别恢复力非平滑点处的优越性，这里也采用基于高阶切比雪夫多项式(待识别系数高达25个)的非参数化方法识别了结构的NRF。图9(a)比较了2种方法的识别结果，从图中可以看出，本文方法的NRF识别值与真实值吻合更好，尤其在刚度突变处。为便于比较，图9(b)给出了2种结果识别误差的时程曲线，从图中不难看出，本文提出的方法的识别误差普遍低于基于切比雪夫多项式的非参数化方法的识别误差。为进一步对比分析，以层间位移为横坐标，图9(c)给出了2种方法的误差对比，图9中点画线表示临界相对位移，即刚度突变处，从图9(c)可以看出，在刚度突变点处本文方法的识别误差明显小于基于切比雪夫多项式识别的误差。

(a) 识别值与真实值比较；(b) 误差比较(时间为横坐标)；(c) 误差比较(相对位移为横坐标)

图9 非线性恢复力识别结果比较

Fig. 9 Comparison of the identified NRF

3 结论

1) 提出一种基于改进观测方程的非线性恢复力免模型识别方法，该方法将NRF视作虚拟外激励，因而，无需提前对其做参数化或非参数模型 假设。

2) 利用投影矩阵，获得了改进的观测方程，并基于LSE和EKF原理，同步识别了结构相关参数和对应的NRF的时程信息，并通过经过多次整体迭代，有效保证了识别结果稳定收敛。

3) 文中通过一个安装有Bingham模型和分段线性模型的5层框架数值模型验证了该方法的可行性，并与基于高阶切比雪夫多项式的NRF识别方法进行对比，发现本文提出的方法能更有效地识别刚度突变处的恢复力大小。

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Identification of nonlinear restoring force in a model-free manner based on revised observation equation

QI Mengchen, ZHANG Xiaoxiong, HE Jia

(Key Laboratory of Wind and Bridge Engineering of Hunan Province, College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract:The existing parametric approaches for the identification of nonlinear restoring force (NRF) basically require their deterministic NRF models and have to clarify the physical meaning of each parameter. For many nonparametric techniques, their nonparametric models or approximations may result in undesirable results or oscillations around unsmooth points. Therefore, based on the revised observation equation, a model-free NRF identification approach was proposed in this study. The NRF to be identified was treated as “unknown fictitious input”, and thus the prior knowledge of the expression of NRF was not required. The revised observation equation, where the unknown NRF was implicitly involved, was employed. Based on the principle of least squares estimation (LSE) and extended Kalman filter (EKF), the formulas of the proposed approach for the identification of NRF were then derived. The structural parameters and the NRF could be simultaneously identified. A global iteration procedure was employed to assure the convergence of the identification results. The effectiveness of the proposed approach is numerically verified via a five-story building equipped with Bingham model and piecewise linear model. As compared with the nonparametric identification method using Chebyshev polynomial model, the superiority of the proposed method in identifying the non-smoothness of NRF is demonstrated.

Key words: nonlinear restoring force; global iteration; extended Kalman filter; unknown fictitious input; model-free identification

中图分类号：TU3

文献标志码：A

文章编号：1672 - 7029(2020)11 - 2729 - 09

DOI: 10.19713/j.cnki.43-1423/u.T20200068

收稿日期：2020-01-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51708198)；湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ3054)

通信作者：贺佳(1983-)，男，湖南长沙人，副教授，博士，从事结构健康监测及系统识别研究；E-mail：[e-mail]

(编辑 蒋学东)