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《測圓海鏡》勾股形月地泉之等式補充﹝下﹞

2021-01-07  瀟湘館112

測圓海鏡勾股形月地泉等式補充﹝下﹞

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形,連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文主要談及第5勾股形月地泉關等式之補充

關鍵詞:長弦長股長勾月地泉

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,書成於 1248 年,時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式,本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形,a1b1c1 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a1b1c1 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式,所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾,其三邊勾股弦分別以 a1b1c1 表之,其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 aibici 表之,其中 1 < i 15。但 aibici 均可以 a1b1c1 表之,此乃《測圓海鏡》之精。注意 aibici 滿足勾股定理。

有關以 a1b1c1 aibici 之式可參閱筆者另文〈測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”

本文談及之勾股形乃“月地泉”﹝又稱為”﹞,亦即以下兩圖帶淺紅色之二勾股形月地泉”之斜邊為 c5 月地”是為,其直角為 5,以 5 之位置為 “,其勾與股分別為  a4地泉b4月泉。筆者有文〈測圓海鏡勾股形月地泉5恆等式,本文是其補充。

注意以下之月地泉勾股形之位置

注意圓徑為 a1 + b1c1,見上圖之東南西北圓。

以下為月地泉勾股形之三事﹝三事,三邊之長也﹞:

泉地勾﹝又黃長勾﹞:a5 = = (a1 + b1c1)

月泉股﹝又黃長股﹞:b5 = (a1 + b1c1) × 2 = a1 + b1c1

長是為內容圓之直徑。

月地黃長弦﹝簡黃長弦﹞:c5 = (a1 + b1c1)

月地泉勾股形之三事和或較亦可以以 a1b1c1 表之。

以下為與勾股形月地泉 (5)﹞有關“五和五較”等式之補充:

前黃長勾股下其勾股較又為大差勾上少個小差勾也又為圓徑內少黃長勾勾弦共又為兩底勾又為大勾與小差勾共勾弦較又為大差上黃方靣 股弦共又為兩邊勾

以下為各條目之証明:

前黃長勾股下

意指在勾股條之下。

其勾股較又為大差勾上少個小差勾也

勾股 = b5a5 = (a1 + b1c1) –(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(1 –)

= (a1 + b1c1)(b1a1)

=(b12a12c1b1 + a1c1)

已知坤月﹝又大差勾﹞:a10 = = (c1 a1)

艮地勾﹝又小差勾﹞:a11 = a1 – (a1 + b1c1) = a1a1b1 + c1

 = c1b1

大差上少小差=a10a11

a10a11 =(c1a1) – (c1b1) = (a1c1a12b1c1 + b12)

比較兩式,可知勾股 = 大差上少小差勾。

又為圓徑內少黃長勾

已知圓徑 = a1 + b1c1

圓徑內少黃長勾 = (a1 + b1c1) –(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(1 –)

= (a1 + b1c1)(b1a1)

=(b12a12c1b1 + a1c1)

所以勾股 = 圓徑 黃長勾

勾弦共又為兩底勾

勾弦共 = a5 + c5= (a1 + b1c1) + (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(+ )

= (a1 + b1c1)(c1 + a1)

= [b1 – (c1 a1)](c1 + a1)

= [b1c1 + b1a1c12 + a12]

= [b1c1 + b1a1b12]

= a1b1 + c1

已知北地勾﹝簡勾﹞:a3 = a1(a1 + b1c1) = (a1b1 + c1)

兩個底 = 2 ×(a1b1 + c1) = a1b1 + c1

所以勾弦共 = 兩個底

又為大勾與小差勾共

已知小差勾:a11 = a1 – (a1 + b1c1) = a1a1b1 + c1

= c1b1

又已知大勾 = a1

大勾與小差勾共= a1 + (c1b1) = a1 + c1b1

所以勾弦共 = 大勾與小差勾共

勾弦較又為大差上黃方

勾弦 = c5a5+ = (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)()

= (a1 + b1c1)(c1a1)

大差上黃方面即大差上三事較,即弦和較 = (b10 + a10) – c10 = b10 + a10c10

b10 + a10c10 =(c1 a1) + (c1 a1) – (c1 a1)

= (c1a1)[ 1 + ]

= (c1 a1)(b1 + a1c1)

所以勾弦 = 大差上黃方面。

股弦共又為兩邊勾

股弦共”指股弦和

股弦和 = b5 + c5= (a1 + b1c1) + (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(+ 1)

=(a1 + b1c1)(c1 + b1)

=[a1 – (c1 b1)](c1 + b1)

=(a1c1 + a1b1c12 + b12)

=(a1c1 + a1b1a12)

= (c1 + b1a1)

已知西川勾﹝簡勾﹞:a2 = (c1 + b1a1)

兩個邊股= 2 ×(c1 + b1a1) = (c1 + b1a1)

所以股弦和 = 兩個邊勾。

以下為測圓海鏡原文:

以下為測圓海鏡細草原文:

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