【原】《測圓海鏡》勾股形月地泉之等式補充﹝下﹞

《測圓海鏡》勾股形月地泉之等式補充﹝下﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文主要談及第5勾股形月地泉相關等式之補充。

關鍵詞：黃長弦、黃長股、黃長勾、月地泉

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意 a_i、b_i、c_i 滿足勾股定理。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃“月地泉”﹝又稱為“黃長”﹞，亦即以下兩圖帶淺紅色之二勾股形，“月地泉”之斜邊為 c₅ “月地”是為黃長弦，其直角為 5，以 5 之位置為 “泉”，其勾與股分別為  a₄﹝地泉﹞與 b₄﹝月泉﹞。筆者有文〈《測圓海鏡》勾股形月地泉﹝5﹞之恆等式說〉，本文是其補充。

注意以下之“月地泉”勾股形之位置：

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為月地泉勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

泉地勾﹝又稱黃長勾﹞：a₅ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

月泉股﹝又稱黃長股﹞：b₅ = (a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

其股長是為內容圓之直徑。

月地黃長弦﹝簡稱黃長弦﹞：c₅ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

月地泉勾股形之三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

以下為與黃長弦﹝勾股形月地泉 (5)﹞有關“五和五較”等式之補充：

前黃長勾股下。其勾股較又為大差勾上少個小差勾也。又為圓徑內少个黃長勾。勾弦共又為兩个底勾。又為大勾與小差勾共。勾弦較又為大差上黃方靣。　股弦共又為兩个邊勾。

以下為各條目之証明：

前黃長勾股下。

意指在黃長弦勾股條之下。

其勾股較又為大差勾上少個小差勾也。

黃長勾股較 = b₅ – a₅ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁c₁)。

已知坤月勾﹝又稱大差勾﹞：a₁₀ = = (c₁ – a₁) 。

艮地勾﹝又稱小差勾﹞：a₁₁ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = a₁ – a₁ – b₁ + c₁

 = c₁ – b₁。

大差勾上少个小差勾=a₁₀ – a₁₁，

a₁₀ – a₁₁ =(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁) = (a₁c₁ – a₁² – b₁c₁ + b₁²) 。

比較兩式，可知黃長勾股較 = 大差勾上少个小差勾。

又為圓徑內少个黃長勾。

已知圓徑 = a₁ + b₁ – c₁，

圓徑內少个黃長勾 = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁c₁)。

所以黃長勾股較 = 圓徑 – 黃長勾。

勾弦共又為兩个底勾。

黃長勾弦共 = a₅ + c₅= (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(+ )

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

= [b₁c₁ + b₁a₁ – c₁² + a₁²]

= [b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²]

= a₁ – b₁ + c₁。

已知北地底勾﹝簡稱底勾﹞：a₃ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

兩個底勾 = 2 ×(a₁ – b₁ + c₁) = a₁ – b₁ + c₁。

所以黃長勾弦共 = 兩個底勾。

又為大勾與小差勾共。

已知小差勾：a₁₁ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = a₁ – a₁ – b₁ + c₁

= c₁ – b₁。

又已知大勾 = a₁，

大勾與小差勾共= a₁ + (c₁ – b₁) = a₁ + c₁ – b₁。

所以黃長勾弦共 = 大勾與小差勾共。

勾弦較又為大差上黃方面。

黃長勾弦較 = c₅ – a₅+ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(–)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁)。

大差上黃方面即大差上三事較，即弦和較 = (b₁₀ + a₁₀) – c₁₀ = b₁₀ + a₁₀ – c₁₀。

b₁₀ + a₁₀ – c₁₀ =(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[ 1 + –]

= (c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

所以黃長勾弦較 = 大差上黃方面。

股弦共又為兩个邊勾。

“股弦共”指黃長股弦和。

黃長股弦和 = b₅ + c₅= (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(+ 1)

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=(a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²)

=(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²)

= (c₁ + b₁ – a₁)。

已知西川邊勾﹝簡稱邊勾﹞：a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

兩個邊股= 2 ×(c₁ + b₁ – a₁) = (c₁ + b₁ – a₁)。

所以黃長股弦和 = 兩個邊勾。

以下為《測圓海鏡》原文：

以下為《測圓海鏡細草》原文：