前些天做了皖南八校联考题,感觉是真的有点难度的, 因为学生确实做的不太理想,几天前就想写几个题了。却是因为时间的原因,断断续续的,到今天才完成了下面这题。 这题很多孩子都要求讲一讲,可是,这题真的有难度么? 说难,确实还是有点。但要说容易么,也确实是不过份的。 因为,熟悉圆锥曲线二级结论的人都会知道,这就是考查圆锥曲线垂径定理的了。 可惜的是,很多的娃并不清楚。 那么,什么是垂径定理呢?今天就准备详细的说一说它。 说到垂径定理,最先想到的肯定是圆了吧? 就算不知垂径定理是什么东西,但同学也一定是熟悉它的。 其实,在垂径定理之前,应该还有一个也是我们熟悉的,圆周角定理: 圆的直径所对的圆周角是直角。 对于学数学的人来说, 这个应该算是妇孺皆知的结论了吧。 虽然是初中的内容, 但是在高中也是经常会用到的。 那么垂径定理,到底是什么? 其实我们应该更加熟悉才对的。 垂直于弦的直径 平分弦 且平分弦所对的两条弧 是不是很熟悉? 是不是还经常用到它! 当然, 为严谨起见, 我还是要象征性的做个说明, 从两个方面: 证明一:无字证明 证明二:理论证明
这个圆的垂径定理, 在高中阶段, 尤其是在《直线与圆》这一章节, 也是常用的一个结论了。 但其实, 从高中的角度来看, 无论是圆的圆周角定理, 还是这个垂径定理, 其本质都是一样的。 因为它们, 可以相互导出、互为因果。
都知道椭圆与圆的关系。 椭圆只是一个圆被压扁了一点而已。 那么, 在圆被压扁的过程中, 直径所对的直角将如何变化, 垂径定理又将何去何从呢? 看了这个动图, 是不是感觉很惊讶? 随着圆的被压扁, PA与PB之间的垂直关系会发生变化, 这一定是情理之中的。 但它们斜率之积却依然是定值, 仅仅只是由原来的-1, 变成了另一个定值而已。 这个结果, 就非常的出乎意料, 但确实还是让人欣喜。 也许, 这正说明了, 圆应该就是一个特殊的椭圆吧。 这也让我想起了, 很久以前写过的一篇推文: 对于这个结果, 还可以概括成下面一般性的结论: 这个就算是椭圆的圆周角定理了, 根据圆与椭圆之间的关系, 圆的直径在椭圆这里, 便挖成了中心弦。 中心弦所对角的两边的斜率 乘积为定值 当然, 这么好的结论, 应该还是要从理论上证明的, 最少, 是应该找出这个定值的吧。 显然, 无论是从数量关系, 还是从动图观察, 结论都是没有问题的。 有人也把这个结论, 称为椭圆的第三定义: 已知A,B是平面内两个定点,点P是平面内一动点,若PA与PB的斜率之积为定值(负值且不等于-1),则动点P的轨迹为椭圆。 有了圆周角的经验, 同样的, 类似于圆的垂径定理, 椭圆的垂径定理猜想可以描述成这样: 先不说结论, 先说下上面的证明, 这不是用的点差法么? 原来, 一直最喜欢的点差法, 最后的结局, 竟然就是垂径定理! 那是不是预示着, 以后凡是想到点差法时, 是可以直接考虑用它的结果, 就是现在的垂径定理了呢? 当然, 也是到了现在才确信, 原来初中的圆周角定理和垂径定理, 到了高中依然关系亲密, 而且更显强大。 切线也是圆的一个重要特征, 其实我们还可以从切线性质出发, 得到椭圆的另一个很好的结论。 大家都知晓的, 圆的切线, 总是与圆心与切点连线互相垂直的, 从数量关系上说, 就是它们的斜率之积为-1。 动图告诉我们, 椭圆也有着类似的性质, 只是斜率之积变成了 其实, 如果你愿意, 还可以更进一步, 这个最好的定值, 原来是可以写成这样的: 就问这样的结论, 于你来说, 惊不惊喜意不意外! 如果还能深入点, 考虑焦点在y轴上的话, 同样可以得到定值: 哦, 原来也只是交换了下a,b而已! 定值变成倒数了。 椭圆与圆, 最大的相似性在于形状特征。 而双曲线与椭圆, 最大的相似性肯定是方程的结构了。 因此, 还是用类比的手法, 根据双曲线与椭圆方程的相似性, 可以类比得出圆周角定理。 原来, 不仅结论的形式很相似, 而且和椭圆中的定值相比, 也仅只是少了一个负号而已。 确实, 这组结论真的是很奇妙的。 但记起来, 因为结论太相似了, 会不会有点混淆的感觉呢? 所以, 还是看看它离心率的表达吧。 竟然是和椭圆一样一样的! 这样记起来, 相信就会方便很多。 既然有相似的圆周角定理, 那一定就会有相似的垂径定理了, 真的是好, 连证明过程都是一样的。 那双曲线的切线, 会不会也有椭圆相似的结论呢? 原来是真的, 双曲线上任意一点处的切线斜率, 和切点与原点连线的斜率, 乘积依然是定值, 定值依然是: 如果表达成离心率的形式, 和椭圆的表述竟然也是一样的, 都是: 同样的, 如果焦点在y轴上, 定值也应该是它的倒数了: 这样, 椭圆和双曲线, 就达到了完美统一了。 真好! 相信现在大家对圆锥曲线的圆周角定理和垂径定理,应该会有一个更直观的理解和感受吧。 至于要不要掌握这个定理?我想答案应该是肯定的。 因为,教材中不是有个关于第三定义的例题么? (P41,例3) 既然这样,那还等什么呢,老实的再理解再记忆吧。 |
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