我们都知道,解三角形,无非就是已知三角形的三条边或角,求其余的边或角的问题。 就是所谓的知三求三了。 初中阶段的解三角形,主要工具应该只有勾股定理。 也就是说,首先必须要寻找或构造一个直角三角形。 那么,高考中,图形背景下的解三角形问题,其实和初中平面几何中求边或角的问题是一样的。 只是在初中的基础上,除了最喜欢的勾股定理,又增加了一些求解的工具而已。 而这些工具,当然主要就是我们最熟悉的…… 正弦定理 ↓ 余弦定理 ↓ 面积公式 ↓ 有时甚至还会用到射影定理 ↓ 当然,什么条件下用哪个工具,就看你自己对条件和结论特征的梳理和理解了。 如果真的没有好的思路,挨个的定理都试试,也是不错的选择的。 下面就根据这些思路,来说说2018年全国I卷的解三角形,以给同学们一点经验。 其实,具体到解三角形的三个条件,根据三角形确定的因素,主要就是SSS,SAS,SSA,AAS,ASA了。 其中,唯一不能作为三角形全等判定的SSA,则更是高中阶段重点考查的一种。 但不论是哪一种情况,既然是解三角形问题,我们都应该先确定一个三角形。 也就是,要求某条边或某个角,就首先要确定这条边或这个角,所在的是那个三角形。 然后,再确定三角形中已知了哪三个条件,并根据条件具体确定用哪些工具去进行求解。 下面先解决第一问: Ideas 1 几 何 法 几何问题首选几何法,实在不行,再考虑用其它的方法。 这是我们解决任何一类问题的基本思维了。 只是用几何法,不可避免就会有一些添加辅助线的过程。而这,也正是初中平面几何的难点吧。 就象是上面的解法,添加了一条垂线,构造了一个直角三角形,就让问题显得如此的简单。 你是不是也会想到,如此小儿科似的解法呢? 估计在初中生眼里,这根本就不象是传说中的高考题了吧…… Ideas 2 正弦定理法 仔细一看,条件是显然的SSA。 一般来说,SSA条件下的解三角形,因为有一组对边角,首先考虑的当然就应该是正弦定理了。 不过说真的,SSA条件下的解三角形,是解三角形中最常见和最重要的一种。 从这个角度来说,高考的这个题还是重点问题重点考查的了。 Ideas 3 余弦定理法 一般来说,SSA条件下的解三角形,如果是求第三边,是可以直接用余弦定理的。 但这里的求角,用余弦定理,过程上就稍显复杂了一些。 思维的过程上,拐了一个弯了。 Ideas 4 面 积 法 这里用的面积法,有没有给人一种耳目一新的感觉? 其实,前面已经说了解三角形的几个工具,我只不过是挨个试了下,凑巧觉得面积法在这里也真的是好用而已。 Ideas 5 解 析 法 什么时候用解析法呢? 当然是几何问题用几何的方法解决不了时,应该要想到的。 就是所谓的,山穷水尽疑无路吧。 解析法,也确实是解决平面几何问题最重要的方法了。 看看过程,真的还是挺简洁的。 只是这个高考题,让解析法觉得,大材小用了点了。 其实,真的还想搞个向量法的。 因为向量也是解决平面几何问题最好的方法之一啊。 只是,这个题因为实在太简单了点吧,也没什么实在的意义。 不过,真的是强烈建议,向量法解决平面几何问题,应该还是要作为一种重要方法,储存在自己的记忆深处。 在第一问的基础上,又有了边DC的长,那么在ΔBCD中,显然知三的条件便是SAS了。 SAS条件下求第三边,当然直接用余弦定理。 或者在第一问解析法的基础上,直接用两点间距离公式便直接搞定了。 三角形的中线与角平分线,是不是三角形中最常见的量了呢? 其实,还是有很多的孩子,看到这两个量,会懵好一会的。 正好从这个题,我们总结一下三角形中线与角平分线的计算思路,普及一些一般性的求解方法。 先看三角形中线长的计算思路吧: 其实这里的作辅助线,如果是初中生,可能会更熟练一点。 因为,高中生现在,可能已经很少做辅助线了。 但这种思路,确实是简单随意的。 其实,向量法稍微前进一步,就是传说中的“极化恒等式”了。 在客观题中,这个结论,是可以秒杀中线长结论的。 其实,三角形的中线定理,可以用平行四边形的性质,很容易得出的。 结论:平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。 而我这里的求解过程为什么那么复杂? 还是因为这个结论,应该是不可以直接使用的吧。我实际上是做了个平行四边形结论的证明罢了。 不然叫不知道结论的孩子,情何以堪了呢? 这种利用公共角建立等量关系,也是一种很巧妙的思路了。 只是可惜,计算量确实是大了点。 其实总觉得,解析法一如既往的好。 只是建系应该是一个关键了。因为建系的科学与否,直接会影响解题过程的复杂程度。 但一定总是可以的! 五种思路,虽然有些很相似,但是毕竟角度还是不一样的,对于我们以后求中线长的问题,应该足够可以借鉴了。 下面开始处理角平分线。 其实说到角平分线,不得不先交待下关于它的两个常见性质: ①角平分线上的点,到角两边的距离相等; ②三角形角平分线分对边所得两段之比,等于角相应两邻边之比。 其次,三角形的角平分线长公式,我觉得也是时候了解下了。 如果已知了三角形的三边,用它求角平分的长度,是不是会很爽的? 其实,还有一个更爽更好看的角平线公式呢。 果然,是不是很整齐、更养眼的一个式子! 用这两个结论,就可以秒解第二问了: 或者更简单的: 如果不知道这么好的结论,会不会惭愧到爆呢! 只是对于解答题,还是想想算了,最好还是要有正经的求解过程和正常思路。 但也不是说它俩没有一点用处,起码可以用来验证你辛苦半天的结果,是不是正确的。 之所以第一个思路就用面积法,也是因为这种解法的另辟蹊径。 是不是也觉得,这个思路真的是好呢? 所以,解三角形时对条件的分析,以及条件和结论关系的理解,都是至关重要的。 和第一问一样的用到了公共角。 所以,要求某个量,一定要首先寻找关于这个量的一个等式,或方程。 而等量关系的寻找,就要看自己的解题经验了。 多做题,多思考,多整理和总结,才是做学生和老师最重要的素质。 这个的思路,也没什么好评价的。 依然如前面所说,要求某个量,就先找个三角形吧。 然后,再想办法找三个条件了。 又用到了邻补角! 只是和中线不一样的是,不能直接相加而消角了。 有点解析几何中,非对称韦达的意思。 最后,做个简单的总结吧。 解三角形问题基本思维过程: 第一步:定条件:确定三角形中的已知和所求,在图形中标出,确定转化的方向; 第二步:定工具:根据条件和所求,合理选择转化工具,进行边角之间的转化; 第三步:求结果。 在具体求解过程中,要注意三角形内角和为180°,大边对大角等隐含条件的使用。 |
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