【原】《測圓海鏡》圓城圖之太虛弦﹝6﹞等式說

《測圓海鏡》圓城圖之太虛弦﹝6﹞等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及太虛弦、極弦、大差弦相關之等式。

關鍵詞：太虛弦、極弦、大差弦、虛弦

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明太虛弦之等式，而諸弦之位置可參閱以下兩圖。筆者已有文談及此類等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之邊弦及相關弦﹝3﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之黃廣弦及髙弦﹝4﹞說〉及〈《測圓海鏡》圓城圖之髙弦及平弦﹝5﹞等式說〉。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

第 13 點為“泛”﹝一作“水”﹞，第 7點為“朱”，第 12 點為“心”，第 8 點為“青”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓，圓徑式經常出現於十五勾股形之三邊。

以下為與太虛弦有關之等式：

太虛弦： 加入極弦為極和。極弦內去之即明二弦共。再去之則明大差小差併也。加於大差弦即黃廣弦。加於小差弦即黃長弦。內去明勾則股。　加明勾為圓徑內少虛黃股共。加入明股為明和股共。減於明股即明較內去股。加入明弦為極股。減於明弦為明大差小差內少個弦。加於明和即兩個虛弦一個髙差共也。減於明和即髙差也。內去勾即明勾較共。又為股平差共。加於勾即和明勾共。加於股為二虛弦內少明勾。又為圓徑內少虛黃明勾共。內減股即明勾。

注意月山太虛弦﹝簡稱太虛弦，在勾股形月山泛 13﹞：

c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)，見上圖。

以下為各條目之証明：

加入極弦為極和。

極弦，即皇極弦﹝在勾股形日川心 12﹞。

已知皇極弦 = c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) 。

太虛弦 + 皇極弦 = c₁₃ + c₁₂ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²+ (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁ – c₁) + c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

“極和”即皇極勾股和。

皇極勾股和= b₁₂ + a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[+ ]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

比較兩式，可知皇極弦加入極弦為極和。

極弦內去之即明二弦共。

“極弦內去之”指從皇極弦減去太虛弦。

皇極弦 – 太虛弦 = c₁₂– c₁₃ 。

c₁₂ – c₁₃ = (a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁ – (a₁ + b₁ – c₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞：c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

又已知弦﹝在勾股形山川東 15﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“明二弦共”即明弦 + 弦 = c₁₄ + c₁₅。

c₁₄ + c₁₅ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

比較兩式，可知極弦內去太虛弦 = 明二弦共。

再去之則明大差小差併也。

“再去之”指極弦內去太虛弦，再減太虛弦，或曰上條答案再減太虛弦。

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) –(a₁ + b₁ – c₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)[(2c₁ – a₁ – b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(3c₁ – 2a₁ – 2b₁) 。

“明大差”即明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較。

明弦勾弦較 = c₁₄ – a₁₄

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

“小差”即弦﹝在勾股形山川東 15﹞上股弦較。
弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

“明大差、小差併”即以上兩式之和：

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)²]

=(b₁ – c₁ + a₁)[c₁² – 2c₁a₁ + a₁² + c₁²– 2c₁b₁ + b₁²]

=(b₁ – c₁ + a₁)[3c₁² – 2c₁a₁ – 2c₁b₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(3c₁ – 2a₁ – 2b₁)。

所以極弦內去太虛弦，再減太虛弦= 明大差 + 小差。

加於大差弦即黃廣弦。

“加於大差弦”指太虛弦加以大差弦。

已知天月大差弦﹝簡稱大差弦﹞：c₁₀ = (c₁ – a₁)。

太虛弦 + 大差弦 = c₁₃ +c₁₀。

c₁₃ + c₁₀ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)[(c₁ – b₁) + 1]

=(c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)( – b₁ + c₁ + a₁)

=(a₁b₁ – c₁b₁ + c₁² – a₁²)

=(a₁b₁ – c₁b₁ + b₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

已知天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞：c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知太虛弦+ 大差弦 = 黃廣弦。

加於小差弦即黃長弦。

“加於小差弦”指太虛弦 + 小差弦。

山地小差弦﹝簡稱小差弦﹞：c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

太虛弦 + 小差弦 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)

=  (c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + 1]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( – a₁ + c₁ + b₁)

=(a₁b₁ – c₁a₁ + c₁² – b₁²)

=(a₁b₁ – c₁a₁ + a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

月地黃長弦﹝簡稱黃長弦﹞：c₅ =(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知太虛弦+小差弦 = 黃長弦。

內去明勾則股。

“內去明勾”指太虛弦內減明勾﹝在勾股形日月南 14﹞。

南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛弦 – 明勾 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)² – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ – c₁a₁ + a₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – b₁²)

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

已知股﹝在勾股形山川東 15﹞：b₁₅ == (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以太虛弦 – 明勾 = 股。

加明勾為圓徑內少虛黃股共。

明勾式見前。先算出：

太虛弦 + 明勾 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + c₁a₁ – a₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ 2c₁a₁ – a₁²) 。

“黃”即黃方。“虛黃”即太虛黃方。

已知虛黃 = 太虛弦三事較 = 太虛弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁ – c₁)

=(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

已知股：b₁₅ == (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。圓徑 = a₁ + b₁ – c₁。

虛黃 + 股

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[+(c₁ – a₁)]

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + 2c₁ – 2a₁)。

圓徑內少虛黃股共，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + 2c₁ – 2a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1–(c₁ – b₁)(b₁ + 2c₁ – 2a₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)(2a₁b₁ – c₁b₁ – 2c₁² + 2c₁a₁ + b₁² + 2c₁b₁– 2a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(– 2c₁²+ 2c₁a₁ + b₁² + c₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(– c₁² – a₁² – b₁²+ 2c₁a₁ + b₁² + c₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(– c₁² – a₁² + 2c₁a₁ + c₁b₁) 。

所以太虛弦+ 明勾 = 圓徑內少虛黃股共。

加入明股為明和股共。

已知日南股﹝又稱明股在勾股形日月南 14﹞：b₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛弦 + 明股 = c₁₃ +b₁₄

 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + c₁b₁ – a₁b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ – a₁b₁) 。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ + a₁₄。

 b₁₄+ a₁₄  = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

已知山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

因此明和股共

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) + (c₁ – b₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – a₁b₁ + b₁c₁ – b₁²)

= (a₁ – c₁ + b₁)(2c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – a₁b₁ – b₁²)

= (a₁ – c₁ + b₁)(2c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – a₁b₁) 。

比較兩式可知相同，所以太虛弦 + 明股 = 明和股共。

減於明股即明較內去股。

明股 – 太虛弦 = –c₁₃ + b₁₄

 = –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= –(b₁ – c₁ + a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[ –(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)( –c₁b₁+ c₁² – c₁a₁ + c₁b₁ – a₁b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – c₁a₁ – a₁b₁) 。

“明較”即明弦勾股較 = b₁₄ – a₁₄ 。

b₁₄ – a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

已知山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明較內去股，即明較 –股，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)[c₁b₁ – c₁a₁ – a₁b₁ + a₁² – c₁b₁ + b₁²]

= (b₁ – c₁ + a₁)[ – c₁a₁ – a₁b₁ + c₁² ] 。

比較答案兩式，可知明股– 太虛弦 = 明弦勾股較。

加入明弦為極股。

“加入明弦”指太虛弦加以明弦。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞：c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛弦 + 明弦 = c₁₃ + c₁₄

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – c₁ + a₁ + c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) × b₁

=(a₁ + b₁ – c₁)。

已知日心股﹝又稱皇極股，簡稱“極股”﹞：b₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁)。

比較答案兩式，可知太虛弦 + 明弦 = 極股。

減於明弦為明大差小差內少個弦。

“減於明弦”指明弦 – 太虛弦，即c₁₄ – c₁₃：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(b₁ – c₁ + a₁)²

=(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) – (b₁ – c₁ + a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)[ c₁ – a₁ – b₁ + c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁) (2c₁ – 2a₁ – b₁)。

“明大差”指明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較=c₁₄ – a₁₄。

c₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

又“小差”指弦﹝在勾股形山川東 15﹞上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

山川弦﹝簡稱弦﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“明大差、小差內少個弦”指前兩式相加減去第三式，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)
–(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)² – c₁(c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – 2c₁a₁ + a₁² + c₁²– 2c₁b₁ + b₁² –c₁² + c₁b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – 2c₁a₁ + a₁² – c₁b₁ + b₁² )

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁² – 2c₁a₁ – c₁b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (2c₁ – 2a₁ – b₁)。

所以太虛弦減於明弦 = 明大差小差內少個弦。

加於明和即兩个虛弦一个髙差共也。

“明和”指明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“加於明和”即太虛弦 + 明和，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)² +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[c₁(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(a₁ + b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)[c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁]

= (b₁ – c₁ + a₁)[2c₁b₁ – c₁²+ 2c₁a₁ – a₁² – a₁b₁]。

已知虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞：c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

“髙差”指髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞上勾股較。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“兩個虛弦一个髙差共”即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)² + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁ – c₁) + (b₁ – a₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – 2c₁² + b₁² – a₁b₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁² –b₁² + b₁² – a₁b₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁² – a₁b₁]。

所以太虛弦+ 明和 = 兩个虛弦 + 髙差。

減於明和即髙差也。

“明和”即明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“減於明和”即明和 –太虛弦，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –(b₁ – c₁ + a₁)²

=(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – c₁(b₁ – c₁ + a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – a₁b₁ – c₁b₁ + c₁²– c₁a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(– a₁² – a₁b₁ + c₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)(b₁² – a₁b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“髙差”即髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞上勾股較。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

比較兩式，可知明和 –太虛弦= “髙差”即髙弦上勾股較。

內去勾即明勾較共。

已知東川勾﹝又稱勾，在勾股形山川東 15﹞：

a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“內去勾”指太虛弦 – 勾，即：

太虛弦 – 勾=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)² –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)[(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – c₁a₁ + a₁b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ – c₁² + a₁b₁) 。

已知南月勾﹝又稱明勾，在勾股形日月南 14﹞：a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

“較”指弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(–)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

明勾較共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – a₁² + c₁b₁ – c₁a₁ – b₁²+a₁b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)(– a₁²+ c₁b₁ – b₁²+ a₁b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)(– c₁²+ c₁b₁ + a₁b₁) 。

比較兩式，可知太虛弦– 勾 = 明勾 + 較。

又為股平差共。

已知山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

 =[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

=(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

股平差共 = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

= (a₁ – c₁ + b₁) [(c₁ – b₁) +(b₁ – a₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)( c₁b₁ – b₁² + a₁b₁ – a₁²)

= (a₁ – c₁ + b₁)(– c₁²+ c₁b₁ + a₁b₁)。

與上條目答案式比較，可知太虛弦– 勾 = 股 + 平差。

加於勾即和明勾共。

已知勾：a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“加於勾”指太虛弦 + 勾。即：

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)² +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁²+ c₁a₁ – a₁b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁b₁) 。

“和”即弦上勾股和。弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

和明勾共

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – b₁)(b₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁+ c₁a₁ – a₁²)

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + 2c₁a₁ – b₁² – a₁b₁– a₁²)

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁b₁)。

比較答案兩式，可知太虛弦+ 勾 = 和 + 明勾。

加於股為二虛弦內少明勾。

已知山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“加於股”即太虛弦 + 股，即：

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)² +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁²+ c₁b₁ – b₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – b₁²)。

已知虛弦 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)，二虛弦 =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) 。

明勾：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

二虛弦內少明勾即：

二虛弦 – 明勾 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)² – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – 2c₁²+ 2c₁a₁ – c₁a₁ + a₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – 2c₁²+ c₁a₁ + a₁²)

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – c₁² – a₁² – b₁² + c₁a₁ + a₁²)。

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – c₁² – b₁² + c₁a₁)。

所以太虛弦+ 股 = 二虛弦內少明勾。

又為圓徑內少虛黃明勾共。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上文。

已知“虛黃” = 太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) ﹝見前﹞。

又已知明勾﹝在勾股形日月南 14﹞：a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

虛黃明勾共=(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ]

=(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – b₁) + ]

= (c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁ – 2b₁ + a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – 2b₁c₁ + c₁a₁ – 2a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – 2b₁c₁ – a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁²)。

圓徑內少虛黃明勾共

= (a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁ – 2b₁ + a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁) [1 –(c₁ – a₁)(2c₁ – 2b₁ + a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)[2a₁b₁ – (2c₁² – 2b₁c₁ – a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁²)]

= (a₁ + b₁ – c₁)[2a₁b₁ – 2c₁² + 2b₁c₁ + a₁c₁ – 2a₁b₁ + a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[ – 2c₁² + 2b₁c₁ + a₁c₁ + a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[ –c₁² – a₁² –b₁² + 2b₁c₁ + a₁c₁ + a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[ –c₁² – b₁²+ 2b₁c₁ + a₁c₁]。

比較上式與前式，可知太虛弦+ 股 = 圓徑內少虛黃明勾共。

以下為《測圓海鏡細草》原文：