【原】《測圓海鏡》之太虛弦﹝7末篇﹞等式說

《測圓海鏡》之太虛弦﹝7末篇﹞等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及各勾股形與太虛弦相關之等式，太虛弦在勾股形月山泛。

關鍵詞：太虛弦、弦、虛黃、極雙差、傍差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。本文主要談及月山太虛弦，見下圖藍色三角形之斜邊。

筆者已有文談及太虛弦之等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之太虛弦﹝6﹞等式說〉，本文乃其延續。

上圖第 13 點為“泛”﹝一作“水”﹞，第 7點為“朱”，第 12 點為“心”，第 8 點為“青”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為與太虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞有關之等式：

太虛弦：

內減股即明勾。內加弦即極勾。內減弦為明勾內少個小差。加入和即兩個虛弦內少個平差也。內減和即平差也。加入明二和共即極和內少個虛黃也。若減於明二和共即明股勾共也。減於髙弦即明弦。減於平弦即弦。加於角差即二明勾一極差也。減於角差即一極差二股較也。得傍差即明股勾共。內減傍差即太虛三事和內去了極雙差也﹝按雙差係勾弦差、股弦差﹞。內加虛差即二明勾。內減虛差即二股。內加虛黃方即虛和。內減虛黃方即太虛大小差併也。

注意月山太虛弦﹝簡稱太虛弦﹞：c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)，見上圖。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²，所以

太虛弦 c₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ – c₁ + b₁)²。

本文乃“諸弦”篇之末篇。

以下為各條目之証明：

內減股即明勾。

已知山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

太虛弦內減股，即 c₁₃ – b₁₅ ：

c₁₃ – b₁₅ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)² –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)[(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – c₁b₁ + b₁²)

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – c₁² + b₁²)

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – a₁² – b₁² + b₁²)

= (a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – a₁²)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

比較兩式，可知太虛弦內減股 = 明勾。

內加弦即極勾。

山川弦﹝簡稱弦﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

太虛弦內加弦，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)² + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)(a₁ – c₁ + b₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁) × a₁

= (a₁ + b₁ – c₁)。

已知皇極勾﹝川心﹞：a₁₂ = = (a₁ + b₁ – c₁)。

比較兩式，可知內加弦 = 極勾。

減於弦為明勾內少個小差。

已知弦：c₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

太虛弦減於弦，即：

–(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (a₁ – c₁ + b₁)²

=(a₁ – c₁ + b₁)[ – (c₁ – b₁) + (a₁ – c₁ + b₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)( – c₁ + b₁ + a₁ – c₁ + b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)( –2c₁ + 2b₁ + a₁)。

已知明勾：a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

“小差”即弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

“明勾內少個小差”即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)²]

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁a₁ – a₁² – c₁²– b₁² + 2c₁b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁a₁ – 2c₁² + 2c₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)( –2c₁ + 2b₁ + a₁)。

比較兩式，可知太虛弦減於弦 = 明勾內少個小差。

加入和即兩個虛弦內少個平差也。

“和”即弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

太虛弦加入和，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)² + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)[c₁(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(b₁ + a₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² + c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – b₁a₁]

= (a₁ – c₁ + b₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² + c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – b₁a₁]

=(b₁ + a₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – b₁² – b₁a₁]。

“平差”指平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

=[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

=(b₁ – a₁) (b₁ + a₁ – c₁)。

兩個虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞內少個平差﹝兩個即乘以 2﹞，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

= (b₁ + a₁ – c₁)² –(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

=(b₁ + a₁ – c₁)[(b₁ + a₁ – c₁) –(b₁ – a₁)]

=(b₁ + a₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – 2c₁² – a₁b₁ + a₁²]

=(b₁ + a₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁² –b₁²– a₁b₁ + a₁²]

=(b₁ + a₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – b₁² – b₁a₁]。

比較答案兩式，可知太虛弦加入和 = 兩個虛弦內少個平差。

內減和即平差也。

“和”即弦﹝在勾股形山川東 15﹞上勾股和=b₁₅ + a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

太虛弦內減和即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)² –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)[c₁(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(b₁ + a₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)[(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁²) – (c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – c₁b₁ – c₁a₁ + b₁² + a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)(– c₁² + b₁² + a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)( – a₁² –b₁² + b₁² + a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)( – a₁² +a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“平差”指平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁) 。

比較兩式，可知太虛弦內減和 = 平差。

加入明二和共即極和內少個虛黃也。

已知“和”即弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ +a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“二和”即“和”加“明和”。

太虛弦+ 二和，即：

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)² + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)[c₁(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(b₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(a₁ + b₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – 2a₁b₁ + 2c₁b₁ + 2c₁a₁ – a₁² – b₁²)

=(a₁ – c₁ + b₁)(3c₁b₁ + 3c₁a₁ – 2c₁² – 2a₁b₁)。

皇極在勾股形日川心 12。“極和”即皇極勾股和 = b₁₂ +a₁₂
= (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

“虛黃”即虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

b₁₃ + a₁₃ – c₁₃ =(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

極和內– 虛黃，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ + 2c₁b₁ + 2c₁a₁ – 2c₁² – 2a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)(3c₁b₁ + 3c₁a₁ – 2c₁² – 2a₁b₁)。

比較答案兩式，可知相等，所以太虛弦 + 明二和共 = 極和內少個虛黃。

若減於明二和共即明股勾共也。

已知明二和共 = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) +
(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)﹝參閱前條目﹞。

太虛弦若減於明二和共 = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) +
(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –(a₁ – c₁ + b₁)²

=(a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – b₁)(b₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – c₁(b₁ + a₁ – c₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁ + c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁ – c₁b₁ – c₁a₁ + c₁²]

=(a₁ – c₁ + b₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – 2a₁b₁] 。

已知東川勾﹝又稱勾﹞：a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

明股勾共 = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – b₁) + (c₁ – a₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – a₁b₁ + c₁b₁ – a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – 2a₁b₁ + c₁b₁) 。

比較兩式，可知太虛弦若減於明= 明股勾共。

減於髙弦即明弦。

已知髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

太虛弦若減於髙弦即 ( a₁ +b₁ – c₁) – (a₁ – c₁ + b₁)²

= ( a₁ +b₁ – c₁)[1 –(a₁ – c₁ + b₁)]

= ( a₁ +b₁ – c₁)(b₁ – a₁ – b₁ + c₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

比較兩式，可知太虛弦減於髙弦 = 明弦。

減于平弦即弦。

已知平弦：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

太虛弦減于平弦 = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ – c₁ + b₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)[1 –(a₁ – c₁ + b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ – a₁ – b₁ + c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)。

已知山川弦﹝簡稱弦﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

比較兩式，可知太虛弦減于平弦 = 弦。

加於角差即二明勾一極差也。

先說明何謂“角差”，據《測圓海鏡》所云“角差”乃髙股平勾差。

“髙股”在“天日旦”或“日山朱”之句股形；“平勾”在“月川青”或“川地夕”之句股形。宜先注意：

髙股：b₆ = = (a₁ + b₁ – c₁)，髙勾：a₆ = (a₁ + b₁ – c₁)。

平勾：a₈ = = (a₁ + b₁ – c₁)，平股：b₈ = (a₁ + b₁ – c₁)。

髙股平勾差 = b₆ – a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)。

以上之式是為“角差”。

太虛弦加於角差 = (a₁ – c₁ + b₁)² + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁(a₁ – c₁ + b₁) + b₁² – a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² + b₁² – a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – b₁²+ b₁² – a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – 2a₁²]。

已知南月勾﹝又稱明勾，在勾股形日月南 14﹞：
a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

“極差”指皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

二明勾加一極差，即：

= 2 × (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[2(c₁ – a₁) + (b₁ – a₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(2a₁c₁ – 2a₁²+ c₁b₁ – c₁a₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)(a₁c₁ – 2a₁²+ c₁b₁) 。

比較答案兩式，可知相等，所以太虛弦 + 角差 = 二明勾 +極差。

減於角差即一極差二股較也。

太虛弦減於角差 = (a₁ – c₁ + b₁)² – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁(a₁ – c₁ + b₁) – b₁² + a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – b₁²+ a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – b₁² –b₁² + a₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – 2b₁²]。

已知山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

一極差加二股較，即：

2 ×(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)[2(c₁ – b₁) –(b₁ – a₁)]

= (a₁ – c₁ + b₁)(2b₁c₁ – 2b₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)(b₁c₁ – 2b₁² + c₁a₁)。

比較兩式，可知太虛弦減於角差 = 一極差二股較。

得傍差即明股勾共。

依《測圓海鏡》所云，明二差較是為“傍差”﹝或作“旁差”﹞。

已知明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

二差較 = 明差 – 差 ，即：

(c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] – (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)。

以上之值即為“傍差”。

太虛弦得傍差即太虛弦加傍差：

(a₁ – c₁ + b₁)² + (a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[c₁(b₁ + a₁ – c₁) + c₁² – 2a₁b₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)( c₁b₁ + c₁a₁ – c₁²+ c₁² – 2a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – 2a₁b₁) 。

已知日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

東川勾﹝又稱勾﹞：a₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明股勾共 = b₁₄ + a₁₅，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁b₁ – b₁a₁ + c₁a₁ – a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – 2a₁b₁) 。

比較答案兩式，可知太虛弦 + 傍差 = 明股 + 勾。

內減傍差即太虛三事和內去了極雙差也﹝按雙差係勾弦差股弦差﹞。

太虛弦內減傍差，即：

(a₁ – c₁ + b₁)² –(a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[c₁(b₁ + a₁ – c₁) – c₁² + 2a₁b₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)( c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – c₁²+ 2a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)( c₁b₁ + c₁a₁ + 2a₁b₁ – 2c₁²) 。

“太虛弦三事和”即弦和和 = c₁₃ + b₁₃ + a₁₃。

c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁)²– c₁²]

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁² + b₁² –c₁² + 2a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)×2a₁b₁

= a₁ + b₁ – c₁ ﹝即圓直徑﹞。

皇極勾弦較即勾弦差，股弦較即股弦差。

皇極勾弦較 = c₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[ – 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) 。

皇極股弦較= c₁₂ – b₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁) 。

以上之和是為“極雙差”。三事和內去了極雙差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) –(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1 –(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)[2a₁b₁ + c₁a₁ – c₁² + c₁b₁ – c₁²]

=(a₁ + b₁ – c₁)[2a₁b₁ + c₁a₁ – 2c₁² + c₁b₁] 。

比較兩式，可知太虛弦內減傍差 = 太虛三事和內去極雙差。

內加虛差即二明勾。

太虛弦內加虛差 = c₁₃ + (b₁₃ – a₁₃) = c₁₃ + b₁₃ – a₁₃。

即太虛弦較和 = c₁₃ + (b₁₃ – a₁₃) = c₁₃ + b₁₃ – a₁₃。

c₁₃ + b₁₃ – a₁₃

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[+–]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(c₁² – b₁² –a₁c₁ + a₁b₁)

= (c₁ – a₁)(a₁² – a₁c₁ + a₁b₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

二明勾 = 2 × (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) = (c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

比較兩式，可知太虛弦內加虛差 = 二明勾。

內減虛差即二股。

太虛弦內減虛差 = c₁₃ – (b₁₃ – a₁₃)即弦較較。

太虛弦較較 = c₁₃ – (b₁₃ – a₁₃) = c₁₃ – b₁₃+ a₁₃。

c₁₃ – b₁₃ + a₁₃

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(c₁ – b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[a₁ – (c₁ – b₁)]( a₁ + c₁ – b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=(a₁ + b₁ – c₁)[a₁² – c₁² –b₁² + 2b₁c₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)[ – 2b₁² + 2b₁c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)。

已知山東股﹝又稱股，在勾股形山川東 15﹞：b₁₅
 = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

二股 = 2 ×(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) = (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)。

比較兩式，可知太虛弦內減虛差 = 二股。

內加虛黃方即虛和。

從前圖可知，太虛弦與虛黃方同在一勾股形，可作如下之簡証：

已知虛黃方 =b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

太虛弦內加虛黃方 = c₁₃ + (b₁₃ + a₁₃ – c₁₃) = c₁₃ + b₁₃ + a₁₃ – c₁₃ = b₁₃ + a₁₃

是為虛和。“虛和”指太虛勾股和 = b₁₃ + a₁₃。，即：

b₁₃ + a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[+]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)。

內減虛黃方即太虛大小差併也。

太虛弦內減虛黃方 = c₁₃ – (b₁₃ + a₁₃– c₁₃) = c₁₃ – b₁₃ – a₁₃ + c₁₃= 2c₁₃ – b₁₃– a₁₃。

已知太虛大差 = c₁₃ – a₁₃。

太虛大差即太虛勾弦較 = c₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

已知太虛小差 = c₁₃ – b₁₃。

太虛小差即太虛股弦較 = c₁₃ – b₁₃ = (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²。

太虛大小差併 = c₁₃ – a₁₃ +c₁₃ – b₁₃ = 2c₁₃ – b₁₃ – a₁₃。

所以太虛弦內減虛黃方 = 太虛大小差併 = 2c₁₃– b₁₃ – a₁₃。

2c₁₃ – b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² + (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

以下為《測圓海鏡細草》原文：