【原】《測圓海鏡》之大小差相關等式說之二﹝諸差3﹞

《測圓海鏡》之大小差相關等式說之二﹝諸差3﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文之主要內容涉及大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞及小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞之相關等式。

關鍵詞：大差差、小差差、圓徑、明勾、虛勾

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。本文之等式取自《測圓海鏡‧卷一》“大小差”篇，本文乃“大小差”之次篇﹝首篇為〈《測圓海鏡》之大差、小差﹝2﹞相關等式說〉，亦為〈諸差篇〉之第三篇﹞，主要內容涉及大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞及小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞之相關等式。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

以下為有關“大小差”之式：

以大差差減圓徑，即明勾。此差若多於圓徑，則內減圓徑，餘即虛勾也﹝案：此條因題數偶合而誤，若勾股差甚大甚小者皆不能合﹞。以小差差減圓徑即小差弦也。大差弦上加一徑即大股上加虛勾也。小差弦上加一徑即大勾上加虛股也。大差股內減髙弦餘即髙股內減半徑。平弦內減小差勾餘即半徑內減平勾也。大差內減虛差即二明差。小差內減虛差即二差也。大弦內減大差股小差勾共即圓徑。三事和內減二之大差股小差勾共即三個圓徑也。

以下為各條目之証明：

以大差差減圓徑，即明勾。

大差在勾股形天月坤 10，大差差指大差上之勾股較，勾股較即勾股差。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 – )

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

以大差差減圓徑，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= [b₁(a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – a₁)]

= [b₁a₁ + b₁² –c₁b₁ – c₁b₁ + c₁a₁ + a₁b₁ – a₁²]

= [2b₁a₁ + b₁² – 2c₁b₁ + c₁a₁ – a₁²]。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)[b₁ – (c₁ – a₁)]

= (c₁b₁ – a₁b₁ – c₁² – a₁² + 2c₁a₁)。

顯然明勾不等於大差差減圓徑，亦不等於圓徑減大差差﹝見下條﹞。

此差若多於圓徑，則內減圓徑，餘即虛勾也﹝案：此條因題數偶合而誤，若勾股差甚大甚小者皆不能合﹞。

若以圓徑減大差差 = [– 2b₁a₁ – b₁² + 2c₁b₁ – c₁a₁ + a₁²]。

已知太虛勾：a₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + a₁b₁ )。

從結果可知太虛勾不等於大差差減圓徑，亦不等於圓徑減大差差。事實大差差減圓徑與圓徑減大差差有相同之絕對值，但正負號相反。“案語”之說正確。清‧李銳撰《測圓海鏡細草》有類似案語。

以小差差減圓徑即小差弦也。

“小差差”即小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上勾股較 = b₁₁ – a₁₁。

 b₁₁ –a₁₁ = – (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(– 1)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

= (c₁b₁ – c₁a₁ + a₁b₁ – b₁²)。

以小差差減圓徑，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –(c₁b₁ – c₁a₁ + a₁b₁ – b₁²)

= [a₁(a₁ + b₁ – c₁) – (c₁b₁ – c₁a₁ + a₁b₁ – b₁²)]

= (a₁² + a₁b₁ – a₁c₁ – c₁b₁ + c₁a₁ – a₁b₁ + b₁²)

= (a₁² – c₁b₁ + b₁²)

= (c₁² – c₁b₁)

= (c₁ – b₁) 。

已知小差弦=c₁₁ =  (c₁ – b₁) 。

比較兩式可知相同，所以以小差差減圓徑 = 小差弦。

大差弦上加一徑即大股上加虛勾也。

“一徑”指圓直徑 a₁ + b₁ – c₁。

已知大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞= c₁₀ = (c₁ – a₁) 。

大差弦上加一徑= (c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= [c₁(c₁ – a₁) + b₁(a₁ + b₁ – c₁)]

= (c₁² –c₁a₁ + b₁a₁ + b₁² – b₁c₁)。

已知大股﹝在勾股形天地乾 1﹞= b₁。

太虛勾﹝在勾股形月山泛 13﹞：a₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大股上加虛勾= b₁ + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=[b₁²+ (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

=(b₁²+ c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + a₁b₁)。

比較兩式，可知大差弦上加一徑 = 大股上加虛勾。

小差弦上加一徑即大勾上加虛股也。

已知小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞= c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

小差弦上加一徑=  (c₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= [c₁(c₁ – b₁) + a₁(a₁ + b₁ – c₁)]

= (c₁² –c₁b₁ + a₁²+ a₁b₁ – a₁c₁) 。

已知大勾﹝在勾股形天地乾 1﹞= a₁。

太虛股：b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大勾上加虛股=a₁ + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (a₁² + c₁² –a₁c₁ – c₁b₁ + a₁²) 。

比較兩式，可知小差弦上加一徑 = 大勾 + 虛股。

大差股內減髙弦餘即髙股內減半徑。

注意“內減”一詞，即以前數為被減數。若無“內”字，則以前數為減數。

大差股﹝在勾股形天月坤 10﹞=b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

髙弦在勾股形天日旦 6 或日山朱 7。

髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

大差股內減髙弦=(c₁ – a₁) –( a₁ +b₁ – c₁)

= [2a₁(c₁ – a₁) – c₁( a₁ + b₁ – c₁)]

= [2a₁c₁– 2a₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²]

= [2a₁c₁– 2a₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + a₁²+ b₁²]

= [a₁c₁– a₁² – c₁b₁ + b₁²]

= [(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

已知髙股﹝即天旦或日朱﹞：b₆ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

圓半徑 = (a₁ + b₁ – c₁) 。

髙股內減半徑= ( a₁ +b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[ – 1]

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

所以大差股內減髙弦 = 即髙股內減半徑。

平弦內減小差勾餘即半徑內減平勾也。

平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

小差勾 ﹝在勾股形山地艮 11﹞= a₁₁= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

平弦內減小差勾，即：

c₈ – a₁₁ = (a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – b₁)

= [c₁(a₁ + b₁ – c₁) – 2b₁(c₁ – b₁)]

= (c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – 2b₁c₁ + 2b₁²)

= (c₁a₁ – c₁² – b₁c₁ + 2b₁²)

= (c₁a₁ – a₁² – b₁² – b₁c₁ + 2b₁²)

= (c₁a₁ – a₁² – b₁c₁ + b₁²)

= [(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

已知圓半徑 = (a₁ + b₁ – c₁) 。

平勾﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞：a₈ =  = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

半徑內減平勾，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –( a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁) [1 –]

=(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

所以平弦內減小差勾 = 半徑內減平勾。

大差差內減虛差即二明差。

大差差即大差﹝在勾股形天月坤 10﹞上勾股較，勾股較即勾股差。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 – )

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

虛差在勾股形月山泛 13。

虛差即太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

大差差內減虛差，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁)[1 –(c₁ – b₁)]

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

“明差”指明弦勾股較。

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

二明差= 2 ×(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知大差差內減虛差 = 二明差。

小差差內減虛差即二差也。

小差差小差上勾股較 = – (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(– 1)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

= (c₁b₁ – c₁a₁ + a₁b₁ – b₁²)。

虛差即太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

小差差內減虛差，即：

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)[1 – (c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) 。

“差”指弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(–)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

二差 = 2 ×(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

比較答案兩式，可知小差差內減虛差 = 二差。

大弦內減大差股小差勾共即圓徑。

已知大弦﹝在勾股形天地乾 1﹞=c₁；

大差股﹝在勾股形天月坤 10﹞=b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

小差勾﹝在勾股形山地艮 11﹞= a₁₁= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

大差股小差勾共=c₁ – a₁ + c₁ – b₁ = 2c₁ – a₁ – b₁

大弦內減大差股小差勾共=c₁ – (2c₁ – a₁ – b₁)

= c₁ – 2c₁ + a₁ + b₁

= a₁ + b₁ – c₁。

上式a₁ + b₁ – c₁ 是為圓徑。

所以大弦內減大差股小差勾共 = 圓徑。

三事和內減二之大差股小差勾共即三個圓徑也。

“三事和”指勾股形天地乾 1 之三邊和 = a₁ + b₁ + c₁。

“二之大差股”小差勾共 = 2 × (2c₁ – a₁ – b₁) = 4c₁ – 2a₁ – 2b₁。

三事和內減二之大差股小差勾共，即：

(a₁ + b₁ + c₁) – (4c₁ – 2a₁ – 2b₁)

= a₁ + b₁ + c₁ – 4c₁ + 2a₁ + 2b₁

= 3a₁ + 3b₁ – 3c₁

= 3(a₁ + b₁ – c₁)。

上式即三個圓直徑。

所以三事和內減二之大差股小差勾共 = 三個圓徑。

以下為《測圓海鏡細草》原文：