呈现的艺术——素数定理

阿里山图书馆 2021-01-28

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注：原文发表在知乎，原文标题《呈现的艺术——素数定理》。现得到作者 迦具都.命 同意在本公众号转载，特此致谢！

具备高中数学知识，掌握基本微积分知识以及一定数学成熟度即可阅读。

0. 引言

数学的呈现形式在很大程度上依赖于符号（notation），即使数学家们感兴趣的研究对象各不相同，然而毋庸置疑，现代数学在形式上已经演化到一个非常复杂、令人望而生畏的地步；未经严格训练的常人根本无法理解出现在那些大部头数学书中存在的符号及其背后的含义，然而正是这些复杂的符号才体现了现代数学的先进性。愈多的符号代表了呈现手法的多样性，恰是这种多样性才能描绘出隐藏在柏拉图世界的“真理”。

谷歌上找的，侵删

“真理”是无形的，也可以说是“任意形”的，取决于它被投射到什么样的画布上，或者说，以何种方式被描绘、被感知。

一些基本的算术概念，比如加法，乘法以及在此基础上衍生的概念如素数和合数，对于大多数人来讲是初等的，是直观的，是普通的。然而当我第一次遇到素数定理（Prime Number Theorem, PNT），我被深深地震撼到了：这种震撼是两重的，第一重在于，来源于一种朴素的观念——它在自然数中的出现看起来是相当杂乱无章的，无规律可循的，第二重在于，素数定理的陈述涉及到一些并不初等的数学概念。然而，当对这个定理有了些许熟悉后，这种震撼逐渐减轻：尽管对象的定义是初等的，但是一种描述它行为的陈述方式却是另外一个层次的。尽管这种“规律”是内造的，不为人的意志所转移的，但它被以一种为人类可理解的方式呈现却完全是人为的。这可以联系到另一个问题，数学到底是被发现还是被发明的。

素数定理 ，其中给出所有的素数的个数。如果采用渐进符号，。

1. 最初的发现

过去的数学家经过手动计算发现，素数的出现频率似乎有一定规律可循——它与非常接近。在没有严格的证明出现以前，这种现象姑且只能被认为是某种巧合。

谷歌上找的，侵删

大数学家高斯（Gauss）作出了如下猜想：

高斯猜想 随着逐渐增长，。

之后，切比雪夫（Chebyshev）在证明这个猜想的路上迈进了一大步，得到了如下结论：

切比雪夫定理 存在满足。如果极限存在，那么它等于1。

本文将要简单介绍如何去证明切比雪夫定理的前半部分，同时我们会见证一些经常出现在解析数论中的概念和技术是如何发挥作用的。

2. Big O，阿贝尔引理和其他算术预备

一个算术函数（arithmetic function）指的是一个从自然数集到复数集的函数。之前所提及的便是一个例子。另一个我们需要提及的算术函数是曼戈尔特函数（von Mangoldt function），它被以如下方式定义：

定义1 当且是一个素数，，否则。

注意到，如果被唯一分解，

同时，我们引入一个非常强劲的方法。

阿贝尔引理（Abel's Lemma) 是一个复数序列，是一个在上可微的函数。令，那么。

我们在此给出这个引理的部分证明，即当时，定理成立。

证明：

当不是自然数时，上述结论依然成立。

至此，事情开始变得有趣，微积分加入了我们对自然数的讨论。不过我们要引入另一个符号，俗称大O，这个符号没有在我们感兴趣的素数定理中出现，但是它对于整个推理和证明是必不可少的，也是呈现的一环。

定义2 如果存在使得对所有成立。

大O通常用于描述一个函数随着是如何变化。

比如，就可以被写作，因为随着逐渐增大，比方说超过一个足够大的数，将成为这个函数中的主导项，即，在这个范围内，我们可以选择，比如和来保证定义中的不等式被满足。而对于那些的（只有有限个），为确保不等式成立，我们可以选择一个非常大的，之后再令，就可以确保定义被满足。值得注意的是，一个函数被写成大O的记号并不唯一，比如上述的也可以写作或者，又或是。

我们结合上述引理来给出一个例子，比如选取。在阿贝尔引理中，令，，由此

其中代表不超过的最大整数，注意到。

至此为止，我们了解到，同时注意到

，所以

我们定义。假设我们可以证明，那么

，进而

事实上，数学家发现研究比直接研究更自然，因为研究前者会导致很多后者的性质被发掘。现在我们再引入一个辅助函数，显然根据定义，。利用阿贝尔引理，我们可以获得以下两个结论，其过程请读者自行验证。

引理1
引理2

为了证明，切比雪夫用到一个至关重要的观察，。

然而，，所以。进而，利用

我们可以得到，所以，因此。