数论就是指研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研
究。2000年前，欧几里得证明了有无穷个素数。既然有无穷个，就一定有一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫
素数普遍公式。它是和
平面几何学同样历史悠久的学科。高斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究方法的难易程度来看，数论大致上可以分为
初等数论（古典数论）和高等数论（近代数论）。
初等数论主要包括
整除理论、
同余理论、
连分数理论。它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质。
初等数论也可以理解为用
初等数学方法研究的数论。
其中最高的成就包括高斯的“
二次互反律”等。
高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括
代数数论、
解析数论、算术代数几何等等。
初等数论
同上所述，
初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许
不定方程的问题。 本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括
算术基本定理、
欧几里得的
质数无限证明、中国剩余定理、
欧拉定理（其特例是
费马小定理）、
高斯的二次互逆律 ，
勾股方程的
商高定理、
佩尔方程的连分数求解法等等。
《数论》英文版
解析数论
借助微积分及
复分析 （即
复变函数）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与
狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，
华林问题是该领域最著名的课题。
解析数论的创立当归功于
黎曼。 他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的
素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡
零点的分布情况决定了
素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在
复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设--被誉为千禧年七大世界数学难题之一。值得注意的是，
欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。
解析数论方法除了圆法、筛法等等之外， 也包括和
椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到自守形式理论，从而和
表示论联系起来。
代数数论
代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地解决不定方程
求解的问题。 其中一个主要的历史动力来自于寻找
费马大定理的证明。
代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类
整环的性质， 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。
这个领域与
代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了
交换代数理论的一部分。 它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。
《代数数论》英文版
几何数论 数的几何
主要在于通过几何观点研究整数（在此即
格点， 也称
整点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。 这门理论也是有闵科夫斯基所创。 对于研究
二次型理论有着重要作用。
计算数论
借助电脑的
算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和
密码学息息相关的话题。
超越数论
研究数的超越性，其中对于
欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。此外它也探讨了数的
丢番图逼近理论。
组合数论
利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。比如兰伯特猜想的简化证明。
算术代数几何
这是数论发展到目前为止最深刻最前沿的领域， 可谓集大成者。
它从代数几何的观点出发，通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如外尔斯证明
费马猜想就是这方面的经典实例。 整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具。
当代数论的一个重要的研究指导纲领，就是著名的郎兰兹纲领。
《计算数论》
其他的研究方法
除了上述传统方法之外，也有其他一些研究数论之法， 但是没有完全得到
数学家的认可。 比如有物理学家，通过
量子力学方法声称证明了
黎曼假设。
古代时期
公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。
公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 （二）後来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.
（三）再将（二）的内容等价转换：“若
自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
（四）上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
N=
p1
m1+
a1=
p2
m2+
a2=......=
pk
mk+
ak
。
(1)
其中
p1，
p2，.....，
pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即
N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，
pkm+0形。若
N<
P（k+1）的平方
[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则
N是一个素数。
（五）可以把（
1）等价转换成为用同余式组表示：
N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。
(2)
例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。
29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。
以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。
由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据
孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。
例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。
k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；
N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。
k=3时,
---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|
---------------------|---------|----------|--------|---------|
n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|
n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|
------------------------------------------------------------
求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。上图是文章出处。
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
古希腊数学家——欧几里得
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求
最大公因数、
勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、
合数、
约数、
倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。可以认为，
质数是整个数论的研究基石。
到了十八世纪末，历
代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《
算术研究》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。
高斯在这一著作中主要提出了同余理论， 并发现了著名的二次互反律， 被其誉之为“数论之酵母”。
黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系，
由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家
哈代
、李特伍德、
拉马努金等等。在国内，则有
华罗庚、
陈景润、
王元等等。
另一方面， 由于此前人们一直关注费马大定理的证明， 所以又发展出了代数数论的研究课题。
比如库莫提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了复整数环的理论--即
高斯整数。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。
代数数论发展的一个里程碑，则是
希尔伯特的《数论报告》。
随着数学工具的不断深化， 数论开始和代数几何深刻联系起来，
最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何， 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来， 从更加高的观点出发，进行研究和探讨。
由于近代计算机科学和
应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散
傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
素数与圆周率关系
∑1／k2=∏（1／p2）－1=∏2／6
欧拉给出了圆周率与素数的关系，k=1，2，3，，，。
p=素数，并且遍历所有素数。
∏2／6分子表示圆周率的平方。
平方改成复数就是黎曼猜想了。真是神奇。
整除数的特征：
1.末位数是偶数能被2整除；末位数是0或5能被5整除。末两位是4或25的倍数的数，能被4或25整除。末三位是8或125的倍数的数，能被8或125整除。
2.各个数位数字之和是3或9的倍数的数，能被3或9整除。
3.奇数位各个数字之和与偶数位的各个之和的差位11的倍数，，则这个数能被11整除。
4.一个多位数把他的末三位和其他位数分成两部分，则两部分的茶是7,11,13的倍数，则这个是能被7,11,13整除。 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做
正整数，而把它们的相反数叫做
负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做
0。它们合起来叫做
整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0）
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做
四则运算。又叫算术，它与
几何学是最古老的两门数学分支。传统的几何学已经枯萎，而传统的数论（即算术）还有大量的问题无法解决。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行，利用这一性质人们发明了大数密码体系。至今仍然关系着国家的安全。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数浅薄地划分可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；深刻地划分可以分为素数，合数，“1”等。两千多年来，数论学有一个重要的任务，就是寻找素数性质及分布规律，为此，花费了巨大的心血。
利用素数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的
数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
古希腊数学家——欧几里得
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公因数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。可以认为，
质数是整个数论的研究基石。
十八世纪末时期
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术研究》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。
高斯在这一著作中主要提出了同余理论， 并发现了著名的二次互反律， 被其誉之为“数论之酵母”。
黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系，
由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代 、李特伍德、拉马努金等等。在国内，则有华罗庚、陈景润、王元等等。
另一方面， 由于此前人们一直关注费马大定理的证明， 所以又发展出了代数数论的研究课题。
比如库莫提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了复整数环的理论--即高斯整数。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。
代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的《数论报告》。
随着数学工具的不断深化， 数论开始和代数几何深刻联系起来，
最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何， 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来， 从更加高的观点出发，进行研究和探讨。
现代
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费马大定理、
孪生素数问题、
歌德巴赫猜想、
梅森素数问题、
黎曼猜想……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、
闵嗣鹤、
柯召、
潘承洞等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌
素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。陈景润、王元等在“筛法”和“
哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩；
周海中在著名数论难题——梅森素数分布的研究中取得了世界领先的卓著成绩。
