5.角的大小与度量由于习惯和逻辑起点的原因,使中学数学将角的大小与角的度量混同在一起,需要细致讨论两者的不同. 角的大小就是角的度量吗?角的大小与角的度量(或者叫角的大小的度量)是不同的概念.角的大小是一个几何客观,角的度量是角的一个度量化.角的大小是角的集合上的一个序(任意两个角之间的次序,一个包含另一个的比较关系),这个序的公理化定义,是通过直线上点的序公理造成的线段的序来描述的.梁绍鸿《初等数学复习及研究(平面几何)》[10,P.12]先描述了角的相等关系,然后指出可以进一步通过公理建立角的“大于”,“小于”次序(即角的大小比较). 角的度量是由角的集合上的一个非负单调广义函数产生的,函数的递增性与角的大小次序一致,因此也可以说是角的大小的量化.进一步讲,角的度量是角的集合上的一个测度,给每个角规定一个对应数值,这个数值是非负单调的.这一点在中学数学是不容易、因而也不必严格讲清楚的,更不需要按照公理来讲. 人民教育出版社(下称,人教社)1963年版《初级中学课本平面几何第一册》,分别给出角的大小比较和角的度量,抄录如下: “1.12角的比较[11,P.23,1.12]:要比较角和的大小,可以把放到上,使顶点和重合,边和重合,并且使边和在的同旁,如果边和也重合(图1.39),那么;如果落在的里面(图1.40),那么;如果落在的外面(图1.41),那么.”(引注,因所述图示简单,不另画图) “1.14角的度量[11,P.26,1.14]:量角的大小,用‘度’作度量单位.把一个周角分成360等分,每一份叫作一度的角.……” 可以看到,1963年教材把角的大小(比较)与角的度量当成两个独立的概念分开讲.现行教材说“要准确测量一个角的大小,应该用一个合适的角作单位来量”[12,P.40],“我们常用量角器量角”[13,P.130].就是将角的大小次序直接用角的大小的度量值来替代,这是一个简约化的处理,中学数学中这么做并无绕不开的缺陷. 什么是角的角度制度量?常见的角的度量方法有弧度制和角度制两种,都是在角的集合上建立一个映射,将一个角对应到一个实数,这个数加上度量单位,就得到一个关于角的度量.度量的数值与度量的关系,就是数与量的关系. 角度制与弧度制的具体表述,不同的教材中不完全一样,本质恰一致.例如,小平邦彦称[14,P.207],“表示角的大小(引注,即角的大小的度量),有以直角的为( 1 度),的为(1 分),的为(1 秒)的六十分法.另外还有一种方法,就是在一个圆中,取半径等长的弧所对的圆心角,用它为单位来表示角的大小.……这个角的大小叫做弧度.”可见,两种度量都是通过选取某个特定角作度量单位来实现. Kiselev[9,§18]明确将 角定义为圆周的对应的圆心角, “ 文[1]指出“显然,上述两种办法在本质上没有差别,只不过是角度单位作了一次更换而己”(从测度论角度看,是两个等价测度).《三角学讲义》称[15,P.3],“度量角用的角度制和弧度制,在原理上并无差别,仅是采用不同的度量单位”.《教师教学用书》称[16,P.8],“无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立一一对应关系”. 由于历史的习惯省略了弧度的单位“radian”(也叫“胫”,现在多不用此词,简记为rad,或),但保留了角度制的单位“度”或,例如文[1]称“在现代的数学书籍与文献中,角一律用弧度为单位,无须用符号加以特别标注”,“如不特别说明,有关三角函数的自变量一律认为以弧度为其单位”.柯朗明确说[5,P.285],“为避免混淆,今后角就是指角的弧度是,而一个度数是的角将写为”.因此,人们错以为“弧度制下角对应一个数而角度制下角对应角度”的原因,是弧度制省略了单位“rad”而角度制没有它省略单位“”. 一周角为是英国的角度制,法国的角度制曾将圆周分成,即百分制[15,P.4];除此之外还有将圆周分成6000份的密位制[15,P.5].也用较粗糙的方法来度量角,例如,“周、圈、转”等,这些“角的度量”在实际应用时仍不可避免. 怎样理解“平角”?当写“平角”时,显然是“平角在弧度制下的度量弧度”或者“平角的弧度数”的省略表达.其实质为“平角对应于实数”,这与平角对应于,没有本质差别.小平邦彦称[14,P.208],“如果在六十分法中的角等于弧度,则, ”,即“的角的角”当且仅当“”. 对比于“1米=100厘米”,没有人会理解为“”或者“ 厘米”严格讲等式“”没有意义,只能有“的角的角”,简称“”.平时说“一个角的大小是”是指“一个角的大小的弧度制度量为”,若要说“的角”,就得说“度的角”.显然有“ 和 的角”,也有“和的角”. 怎样理解“弧度值是弧长与半径的比值”?弧度制下,角的度量值是对应的弧长与半径的比值,所以没有单位,或者无量纲,是一个实数. 这些理解可以照样搬到角度制的上,Kiselev[9,§18]就是这样做的.因此角度的数值与弧度的数值一样,也是实数.单位rad或者,是为了说明这个数值是角的一个度量而加上的,用于区别数与量. 怎样理解“角度值是角与圆周角的比值”?按照角度制定义,将一个圆周角平均分成份,其中1份对应的角为的角,一个角占有几份就是几度,因此角度的数值是“角与圆周角的三百六十分之一的比”. “角与圆心角的比”的含义是将角看成是圆心角,根据圆心角与圆弧的一一对应,由对应的圆弧之比得到两个角的比. 值得注意的是,弧度制度量角和角度制度量角,都需要在圆弧长的求法,即弧长积分.这表明,角的度量不是独立于长度与面积的度量. 怎样理解“单位圆中角的度量是弧长”?把角的度量看成弧长,显然是混同了度量的数值与度量.在单位圆中,的确可以得到角的弧度数对应到相应的弧长.这种对应,不仅在单位圆中,在半径为2的圆中,也作类似处理,使得每一个角对应于一个弧长,只是这个新的对应是习惯的那种的2倍而已,这样做并不改变弧度制的任何本质. 角度制中角度数是六十进制表示的吗?结合关于十进制与六十进制的讨论,看下面角度制表示的角:,,. 可见,常见的角度制表示角的数值中,有很多是以十进制为基础的六十进制混合表示法,并不是纯粹的六十进制,所以小平邦彦称“六十分法”[14,P.207]. 在具体教学中,如何处理弧度单位的省略问题?一开始学习弧度制时,教师通常可以先要求将弧度单位写上,以后熟悉了再省略.例如,开始时写全单位,,[17,P.416,Example 1.a. 和Example 2.11.],最后做一个约定“Asyou have seen, an angle measure can beexpressed in degrees or in radians. In this book, when no unit is mentioned youshould use radians.”[17,P.422](引注,Advanced Algebra是美国中学生用的高级课程教材,其中恰有关于弧度制的教学处理.) 6.单位圆上的三角函数怎样理解“直角三角形的三角比与单位圆中三角函数线的一致性”?对于锐角三角函数,可以通过直角三角形对应边的比值来定义,也可以通过单位圆中三角函数线来定义,有教师认为这是两种不同的定义方法.这个理解是不错的,因为一个是静态的比值,一个是动态的对应,然而它们的区别并不那么大. 直角三角形中,给定一个角就得到一个确定的三角比(边的比).在单位圆中,角对应的直角三角形斜边长是1,三角比从数值上看有明显的几何意义(数值而已,例如,正弦函数值等于正弦线段的长度值).三角函数定义的仍然是边的比值,与通过直角三角形的定义一样,仅仅是在两个相似的直角三角形中定义而已. 在直角三角形中,从三角比过渡到三角函数,并不是简单的.例如,对于角的取值,并不能如期待的那样,在上任意连续变化取值;角连续变化取值时,如何判断对应的三角比值连续变化呢.若在单位圆上将角的变量等同于对应的弧长,似乎连续变化就解决了;然而要说明一个实数等同于一段弧长,需要弧长积分的概念与技术,需要弧长对于角的决定,再由角决定正弦线,从而得到函数.那么,又如何说明弧长连续变化使得正弦线长连续变化呢?以至于一本教师教学用书不得不困难而牵强地解释[16,第一章总体说明,P.3],“把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点,数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)被缠绕到单位圆上的点.” 这些问题与三角函数的连续性究竟如何定义有关.Cauchy证明了以下结论[9,命题57,P.242]:“若是在上的连续函数,满足任给都有, 则或”.对于三角函数的多种定义,需要讨论它们的一致性,例如,高夯[18,P.169]列举了利用函数方程的公理化定义(引注,高夯列举的是将正弦与余弦作为一对函数一起定义,还有一种是先用函数方程公理化定义余弦函数)、幂级数定义、利用积分定义. 在中学数学中,通过直角三角形和通过单位圆两种定义,都不可能严格讲清楚所定义的三角函数具有连续性,在一般大学教材中也没有讲清楚,甚至就没有试图讲清楚. 通过单位圆来定义三角函数的好处是,可以推广到任意角,容易过渡到在直角坐标系中用坐标定义任意角三角函数,容易表示三角函数周期性的物理意义. (未完待续) 参考文献
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