【原】《測圓海鏡》圓城圖之邊弦及相關弦﹝3﹞說

《測圓海鏡》圓城圖之邊弦及相關弦﹝3﹞說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及各勾股形與邊弦、底弦及其他弦相關之等式。

關鍵詞：邊弦、大差弦、底弦、皇極弦

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明諸弦之等式，而諸弦之位置可參閱以下兩圖。筆者已有文談及此類等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說〉及〈《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為與邊弦、底弦等有關之等式：

邊弦底弦相併為大弦、皇極弦共也。於此並數內減大和，餘為皇極弦內減圓徑也。若以二弦相減，餘即皇極差也。此數同者最多，故又為皇極弦內少個小差弦。又為髙弦平弦較。又為明股內少勾。又為大差弦內少皇極弦。又為次差虛差共也。邊弦又為皇極股弦共。又為黃廣弦弦共。底弦又為皇極勾弦共。又為黃長弦明弦共也。以邊弦減大股餘為半徑內減平勾。又為平弦內減小差勾也。底弦內減大勾餘為髙股內減半徑。又為大差股內減髙弦也。

以下為各條目之証明：

邊弦底弦相併為大弦、皇極弦共也。

“相併”，和也。天川邊弦﹝簡稱邊弦在勾股形天川西 2﹞：
c₂ = (c₁ + b₁ – a₁)。

底弦﹝在勾股形日地北 3﹞ = c₃= ( a₁ – b₁ + c₁) 。

邊弦底弦相併 = c₂ + c₃ = (c₁ + b₁ – a₁) + (a₁ – b₁ + c₁)

= [(c₁ + b₁ – a₁) + (c₁ – b₁ + a₁)]

=[a₁(c₁ + b₁ – a₁) + b₁(c₁ – b₁ + a₁)]

=(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² + b₁c₁ – b₁² + b₁a₁)

=(a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁² + b₁c₁ – b₁²)

=(a₁c₁ + 2a₁b₁ – c₁² + b₁c₁)

=(a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁² – b₁² + b₁c₁)

=(a₁c₁ + 2a₁b₁ – c₁² + b₁c₁)。

已知大弦﹝在勾股形天地乾 1﹞=c₁；

皇極弦日川﹝在勾股形日川心 12﹞= c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) 。

大弦、皇極弦共 = c₁ + (a₁ + b₁ – c₁)

= c₁[1 + (a₁ + b₁ – c₁)]

=(2a₁b₁ + a₁c₁ – c₁²+ b₁c₁) 。

比較兩式可知相同，所以邊弦底弦相併 = 大弦、皇極弦之和。

於此併數內減大和，餘為皇極弦內減圓徑也。

“併數”指邊弦底弦之和。“大和”即通弦上勾股和 = a₁ + b₁，圓徑，圓之直徑﹝見上圖﹞。

此併數內減大和

= (2a₁b₁ + a₁c₁ – c₁²+ b₁c₁) – (a₁ + b₁)

= (–2a₁²b₁ – 2a₁b₁² + 2a₁b₁c₁ + a₁c₁² – c₁³ + b₁c₁²)

= [–2a₁b₁(a₁ + b₁ – c₁) + c₁²(a₁ + b₁ – c₁)]

= (c₁² – 2a₁b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

皇極弦內減圓徑=(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁² – 2a₁b₁)。

比較兩式可知相同，所以併數內減大和 = 皇極弦內減圓徑。

若以二弦相減，餘即皇極差也。

“二弦相減”即邊弦底弦之差。

二弦相減= c₂ – c₃ = (c₁ + b₁ – a₁) – (a₁ – b₁ + c₁)

= [(c₁ + b₁ – a₁) – (c₁ – b₁ + a₁)]

=[a₁(c₁ + b₁ – a₁) – b₁(c₁ – b₁ + a₁)]

=(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² – b₁c₁ + b₁² – b₁a₁)

=(a₁c₁ – a₁² –b₁c₁ + b₁²) 。

餘即皇極差，皇極差即皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[ – ]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁² – a₁² – b₁c₁ + a₁c₁)。

比較兩式可知相同，所以邊弦底弦差 = 皇極勾股較。

此數同者最多，故又為皇極弦內少個小差弦。

“此數同者最多”指即有多條加減式可得同一數。

已知皇極弦=c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁)；

山地小差弦﹝簡稱小差弦﹞= c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

皇極弦內少個小差弦

=(a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – b₁)

= [(a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – b₁)]

=[c₁(a₁ + b₁ – c₁) – 2b₁(c₁ – b₁)]

=(c₁a₁ + c₁b₁ – c₁² – 2b₁c₁ + 2b₁²)

=(c₁a₁ – a₁² –b₁²– b₁c₁ + 2b₁²)

= (b₁² – a₁² – b₁c₁ + a₁c₁)。

比較兩式可知相同，所以邊弦底弦差 = 皇極弦內少個小差弦。

又為髙弦平弦較。

已知髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞= c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

已知平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞=c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

髙弦平弦較= ( a₁ +b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)( –)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁² – a₁² – b₁c₁ + a₁c₁)。

與前答案式比較，所以邊弦底弦差 = 髙弦平弦較。

又為明股內少勾。

已知明股 = b₁₄ == (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

又已知勾 = a₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明股內去勾 = b₁₄ – a₁₅

= (b₁ – c₁ + a₁) [(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)[b₁c₁ – a₁b₁ – a₁c₁ + a₁b₁]

= (b₁ – c₁ + a₁)[b₁c₁ – a₁c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁² – a₁² – b₁c₁ + a₁c₁)。

與前答案式比較，所以邊弦底弦差 = 皇極勾股較 = 明股 – 勾。

又為大差弦內少皇極弦。

已知天月大差弦﹝簡稱大差弦，在勾股形天月坤 10﹞：c₁₀ =(c₁ – a₁) 。

皇極弦﹝在勾股形日川心 12﹞：c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) 。

大差弦內少皇極弦 = (c₁ – a₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= [(c₁ – a₁) –(a₁ + b₁ – c₁)]

= (2c₁a₁ – 2a₁² –c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

= (c₁a₁ – 2a₁² – c₁b₁ + a₁²+ b₁²)

= (c₁a₁ – a₁² – c₁b₁ + b₁²)

所以邊弦底弦差 = 大差弦內少皇極弦。

又為次差虛差共也。

依《測圓海鏡》所謂“次差”，指明二差之和也，明二差指“明差”與“差”，而明差指明勾與明股之差，明勾與明股之式見前。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差指勾與股之差，勾與股之式亦見前。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

二差共 = 明差 + 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] + (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–](c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

上式是為次差，又名近差，又名戾和。

“虛差”即太虛勾股較。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

次差虛差共，即：

 (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(2c₁ – a₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)c₁

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² – a₁² – b₁c₁ + a₁c₁)。

與前答案式比較可知相等，所以邊弦底弦差 = 次差虛差共。

邊弦又為皇極股弦共。

已知邊弦﹝在勾股形天川西 2﹞= c₂ = (c₁ + b₁ – a₁)。

皇極﹝在勾股形日川心 12﹞股弦共，即：

 c₁₂ + b₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[ + 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=[a₁c₁ + a₁b₁ – (c₁² – b₁²)]

=[a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²]

= (c₁ + b₁ – a₁)。

比較兩式，可知邊弦 = 皇極股弦共。

又為黃廣弦弦共。

已知山川弦﹝簡稱弦，在勾股形山川東 15﹞
= c₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦，在勾股形天山金 4﹞= c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

黃廣弦弦共 = c₄+ c₁₅ = (a₁ + b₁ – c₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1 + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2b₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + c₁)

= [a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

= (– c₁² + b₁²+ a₁b₁ + a₁c₁)

= (– a₁² + a₁b₁ + a₁c₁)

= (c₁ + b₁ – a₁)。

所以邊弦 = 黃廣弦弦共。

底弦又為皇極勾弦共。

已知日地底弦﹝簡稱底弦，在勾股形日地北 3﹞：c₃ = ( a₁ –b₁ + c₁) 。

皇極﹝在勾股形日川心 12﹞勾弦共 = c₁₂ +a₁₂ 。

c₁₂ + a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) +(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[ + 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

 = [b₁c₁ + a₁b₁ – c₁²+ a₁²]

= [b₁c₁ + a₁b₁ – b₁²]

= (a₁ – b₁ + c₁)。

比較兩式，可知底弦 =皇極勾弦共。

又為黃長弦明弦共也。

已知黃長弦﹝在勾股形月地泉 5﹞：c₅ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

明弦﹝在勾股形日月南 14﹞：c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

黃長弦明弦共=c₅ + c₁₄ =(a₁ + b₁ – c₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[1 + (c₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2a₁ + c₁ – a₁)。

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + c₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](a₁ + c₁)

= [b₁a₁ + b₁c₁– (c₁² – a₁²)]

= [b₁a₁ + b₁c₁– b₁²]

= (a₁ – b₁ + c₁)。

比較兩式，可知底弦 =黃長弦明弦共。

以邊弦減大股餘為半徑內減平勾。

已知邊弦﹝在勾股形天川西 2﹞= c₂ = (c₁ + b₁ – a₁)。

大股﹝在勾股形天地乾 1﹞= b₁。

邊弦減大股，即：

 b₁ – (c₁ + b₁ – a₁) = (– c₁² – c₁b₁ + c₁a₁ + 2b₁²)

= (– a₁² – c₁b₁ + c₁a₁ + b₁²)

= [(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)( b₁ + a₁ – c₁)。

已知圓半徑= (a₁ + b₁ – c₁)；

又上平勾﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞= a₈
= = ( a₁ + b₁ – c₁) 。

半徑內減平勾

= (a₁ + b₁ – c₁) –( a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1–]

= (a₁ + b₁ – c₁)( b₁ – a₁)。

所以邊弦減大股 = 半徑內減平勾。

又為平弦內減小差勾也。

已知平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

艮地勾﹝又稱小差勾，在勾股形山地艮 11﹞= a₁₁ = a₁– (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – b₁。

平弦內減小差勾 = c₈ – a₁₁ = (a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – b₁)

= [c₁(a₁ + b₁ – c₁) – 2b₁(c₁ – b₁)]

= (c₁a₁ + c₁b₁ – c₁² – 2b₁c₁ + 2b₁²)

= (c₁a₁ – c₁² – b₁c₁ + 2b₁²)

= (c₁a₁ – a₁² – b₁c₁ + b₁²)

= [(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)( b₁ + a₁ – c₁)。

所以邊弦減大股 = 平弦內減小差勾。

底弦內減大勾餘為髙股內減半徑。

日地底弦﹝簡稱底弦，在勾股形日地北 3﹞= c₃ =(a₁ – b₁ + c₁) 。

大勾﹝在勾股形天地乾 1﹞= a₁。

底弦內減大勾=c₃ – a₁ =(a₁ – b₁ + c₁) – a₁

= [c₁(a₁ – b₁ + c₁) – 2a₁²]

= [c₁a₁ – c₁b₁ + c₁² – 2a₁²]

= [c₁a₁ – c₁b₁ + b₁² – a₁²]

= [(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)( b₁ + a₁ – c₁)。

已知髙股﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞
= b₆ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

髙股內減半徑=( a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

底弦內減大勾= 髙股內減半徑。

又為大差股內減髙弦也。

髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

大差股天坤股﹝又稱大差股，在勾股形天月坤 10﹞：
b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – a₁。

大差股內減髙弦 = (c₁ – a₁)–(a₁ + b₁ – c₁)

= [2a₁(c₁ – a₁)– c₁(a₁ + b₁ – c₁)]

= [2a₁c₁– 2a₁²– c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²]

= [a₁c₁– a₁²– c₁b₁ + b₁²]

= [(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)( b₁ + a₁ – c₁)。

所以底弦內減大勾 = 大差股內減髙弦。

以下為《測圓海鏡細草》原文：