 一、问题提出 （一）问题缘起 早在20世纪中期，数学教育界就出现了“数学是一种文化”的新观点。国外主要有数学实践哲学和数学教育研究文化转向两种研究视角，其中数学文化的理念及其在数学教育实践中的渗透是研究的热点。自“数学文化”作为数学学科的专有名词开始至今，我国在数学文化的内涵、价值等方面取得了丰硕的研究成果。研究者主要从文化、多元系统、物质与精神角度对数学文化的内涵进行了分析，从德育、智育、美育等方面对数学文化的价值进行了阐述。数学文化教学实践的研究成果也呈上升态势，研究者都认为数学文化教学是一个值得不断研究的问题，数学课堂是数学文化教育价值充分展示的场所。 深度学习概念是美国心理学家费伦斯·马顿（Ference Marton）和罗杰·萨尔乔（Roger Saljo）于20世纪50年代中期提出的。2005年，黎加厚教授研究团队首次较为系统地引介了深度学习理念。深度学习理念倡导在进行资源建设时，既要关注外显学科知识，又要兼顾内隐思想文化，这正彰显了深度学习中的文化特性，说明深度学习与学科文化教学确实是有内在关联的。目前，较为集中的研究领域主要为深度学习教学（学习）模式和策略研究、环境设计研究、资源建设研究等。其中，微观深度学习策略研究、聚焦于课堂情境再创造的深度学习研究成果较少，对中小学一线教师的教和学生的学的指导作用存在一定局限性。 深度学习是数学文化课堂教学新的融合点和增长点。本文拟立足微观深度学习策略、资源开发、课堂情境再创造，从新的视角探讨小学数学课堂教学结构，试图在立德树人和数学学科核心素养培养方面贡献新思考。 （二）相关概念界定 1．数学文化 采纳孙宏安对数学文化的界定以及对数学文化教学实践中的关键因素的阐释，即数学文化是数学相关者在从事数学活动（研究数学、教授数学、应用数学、学习数学或做数学游戏）时的“内环境”，是人类适应数学活动的环境与创造数学活动自身及其成果的总和。该界定有三个关键词：内环境、活动、（活动所创造的）成果。 第一个关键词“内环境”为数学共同体在进行数学活动时的“精气神”，是数学课内外活动顺利开展和有效实施的内力。一方面，因教师是在相对确定的有限的数学知识基础上进行教学行动的主导方，同时也是对数学文化教育的载体——数学知识和技能进行数学文化挖掘和组织的主导方，因此，数学文化教学的“内环境”主要来自于教师的倡议和引领，而教师的引领效能来自于他们的教育观和对应的行为规范。另一方面，学生在教师的带领和引领下，逐渐理解教师所倡导的理念和行为的意义并追随教师，在多向互动中不断完善相应的理念和行为规范，直至形成约定俗成的班级数学活动的隐性文化，即为数学活动的“内环境”。 第二个关键词“活动”为由“内环境”引发和驱动，在教师所设计的数学问题情境中，数学共同体经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，以及进行文化创造的过程。 第三个关键词“成果”指在数学文化教学中，数学共同体所创造的文化成果，包括精神产品和物质产品。精神产品指向对“内环境”的进一步丰富和认同，以及对本节课新知所承载的数学精神和数学思想的体会。物质产品指向学生习得的新知识，以及相应的作品。 2．深度学习 国内外学者对深度学习的概念从四个角度进行界定，每个角度的代表性描述如下：一是认为深度学习是通过让学生真正理解学习内容而对知识进行长时记忆，从而使学生能够提取所学知识解决不同情境的新问题，强调学习情境对深度学习的重要性。二是将深度学习划分为三维度、六能力，包括：⑴认知领域：掌握核心学科知识、批判性思维和复杂问题解决；⑵人际领域：团队协作、有效沟通；⑶个人领域：学会学习、学习毅力。深度学习是以创新方式向学生传递丰富的核心学习内容，引导学生有效学习并能将其所学付诸应用，强调将标准化测试与掌握沟通、协作、自主学习等能力相连接。三是认为深度学习需要连接真实世界的、有意义的、面向问题解决的学习任务，教师需要设计这样的学习环境以支持深度学习的发生。四是从多元角度认为深度学习是以内在学习需求为动力，以理解性学习为基础，运用高阶思维批判性地学习新的思想和事实，能够在知识之间进行整体性联通，将它们融入原有的认知体系，能够在不同的情境中创造性地解决问题，能够运用元认知策略对学习进行调控，并达到专家学习程度的学习。 文化观念下的深度学习指以学科文化为土壤和“脚手架”，在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，学生主动进行数学创造、数学交流和合作，在专家思维层面上建构数学知识，感悟数学精神和数学思想，形成文化认同和自觉。深度学习具有高阶认知、情境迁移、问题解决、反思批判和创造思维等典型特征。 3．教学结构 组成整体的各部分的搭配和安排即是“结构”。何克抗教授指出，所谓教学结构是指在一定教育思想、教学理论、学习理论指导下的，在某种环境中展开的，由教师、学生、教材和教学媒体四种要素相互联系、相互作用而形成教学活动进程的稳定搭配和安排形式。本文的教学结构指基于建构主义理论、情境认知理论、分布式认知理论、元认知理论和沉浸理论的指导，教师、学生和数学文化教学材料三种要素辅助教学媒体因素相互作用而搭配和设计的教学模块组合。 二、小学数学文化深度学习的教学结构阐释 （一）教学结构设计思路 小学数学文化深度学习的教学结构设计思路在于对教师、学生和数学文化教学材料三种要素的功能和相互作用的合理定位和安排。首先，教师和学生的相互作用。教师需要更新教育观，以打造教学“内环境”，应由衷尊重和关爱学生，促进学生主体性的成长；学生尊重和喜欢教师，投入到数学学习活动中。其次，教师和教学材料相互作用达成视阈融合。教师要充分利用显性文化素材，深度挖掘隐性文化素材，包括对数学知识间的关联与拓展、对数学精神和思想方法等文化内核的体悟，并把它们组织成可用的教学材料。最后，学生、教学材料、教师之间相互作用，形成学习共同体。学生投入到教师搭建的数学文化深度学习情境中，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，主动进行数学创造、数学交流和合作，在专家思维层面上建构数学知识，感悟数学精神和数学思想，形成文化认同和自觉。小学数学文化深度学习的教学结构中，教师是主导，学生是主体，教师的主导作用通过学生主体性的发展得以充分发挥。 （二）教学结构模块 小学数学文化深度学习的教学结构包含四个模块，模块示意图如图1所示。  图1 教学结构模块示意图 模块1：学生通过运用旧知解决一个新的现实情境问题，初步发现一个数学规律（个案）。 模块2：学生经历数学化的过程，发现这是一类问题的共同规律，习得新知。 模块3：通过各类问题的思考和解决，学生辨识新知识的本质特征，并同化或顺应已有知识。 模块4：学生进入显性知识和其所承载的隐性文化相融合的情境，拓展思维。各个模块推动学生实现自我价值感，促进学生主体性的成长。 小学数学文化深度学习的教学结构充分彰显学生主体性，教师如影随形地和学生在一起，但不牵制学生，当学生需要帮助时教师能够随时挺身而出。 （三）教学结构实施 小学数学文化深度学习教学结构的整体实现在于教师能够提供良好的数学文化土壤和“脚手架”，搭建深度学习的“梯子”。教师的主要任务不只是传授学科知识，更重要的是如何在学科知识和学生发展之间建立联系，这才是真正的教学问题。而这些工作集中体现在教师的组织者角色中，即教师应该准确把握教学内容的数学实质和学生实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学（学习）方案。已有研究强调对深度学习学案设计的问题情境创设和问题链设计，提出遵循知识问题化、以问题促探究、以思维带训练、以训练生智慧的问题化学习原则。此外，还特别强调挖掘教材中潜在的文化背景对深度学习的重要作用，突出以理性力量震撼学生，以人文情怀感染学生，引发学生对伟大数学家孜孜以求的探索精神的敬佩和向往。在数学问题解决过程中，引导学生形成数学应用意识和能力，促进学生数学深度学习的自觉意识发展，实现“把数学文化渗透于中小学数学课程当中，最终目的是培养学生的数学精神和品格”的目标。因此，要实施小学数学文化深度学习教学结构，达成既定目标，教师需要基于该结构的各个模块进行教学（学习）方案设计，要突出核心问题设计，创设问题情境，形成问题解决需求，使深度学习成为可能。 三、小学数学文化深度学习教学结构课例分析 选择“乘法分配律”作为课例，是因为课题组的小学教师的教学进度正好达于此。后来发现该内容在教材中似乎并没有直接可利用的数学文化素材和线索。如果这样的教学内容都能够开发相应资源并组织成可用的数学文化教学材料，那么理论上大多数小学数学教学内容都可以，而并不局限于“数学广角”“阅读材料”“数学家故事”等这样的内容。 （一）“乘法分配律”教学设计 1．数学文化教学资源的开发 合理的数学文化教学素材具有可行性、思想性和关联性。据此，“乘法分配律”教案专门设计了“数学文化素材的提炼和融合”一栏说明本节课数学文化的来源和去向，同时以有层次的核心问题链体现深度学习的精髓。教学活动过程设计中突出表现数学文化教学是怎样设计的，设计意图则表述了深度学习的着力点。 2．数学文化教学资源的组织 教材《数学》（人民教育出版社2016年出版）四年级下册第三单元例7“乘法分配律”暂未找到可直接使用的数学文化素材，依据教材中的“做一做”和读本《数学文化》（宋乃庆教授团队主编，西南师范大学出版社2018年出版）四年级下册第6～9页的内容，挖掘和组织本节课所需的数学文化教学材料。 ⑴体现智育价值的数学文化教学材料（显性）。教材《数学》四年级下册第26页“做一做”第2题，将乘法分配律与乘法笔算相联系，使新旧知识的学习结构化，强化对乘法分配律意义的理解，渗透“联系”的思想。读本《数学文化》中“铺瓷砖”情境借用几何直观帮助学生理解“分”与“配”的含义，渗透数形结合的思想方法。另外，让学生结合生活现实学习数学，用数学的思维去观察生活，并运用数学的知识和思想方法解决生活中的问题，感受数学学习的魅力。 ⑵体现美育价值的数学文化教学材料（隐性）。在深入理解乘法分配律的来源后，通过具体例子逐渐归纳出乘法分配律的符号表征过程，体现数学语言的简洁美，同时也渗透了一般化的思想。 （二）“乘法分配律”教学模块 1．教学模块1：通过个案发现规律 ⑴活动任务 创设“铺瓷砖”的生活情境，结合学生提出的数学问题，探索并发现规律，从不同角度解释规律，初步理解乘法分配律的意义。 ⑵活动过程 为了把校园建设得更加美丽，学校从南海区某瓷砖厂购进一批黄色瓷砖用来装饰校园文化墙，工人师傅已经铺好了一部分，如图2所示。仔细观察图片，说说你的发现，你能提出相关的数学问题吗？请大胆提出数学问题，并尝试解答。  图2 核心问题1：两面墙拼起来一共铺了多少块瓷砖？ 学生独立思考并小组交流，教师请学生列算式，回答计算过程、计算结果及思考过程。 支点1：体现数学文化的智育价值。“铺瓷砖”的情境联系生活并且使数学问题直观化，教师注意引导学生结合情境图探讨解决问题的思路，渗透数形结合的思想方法。 预设方法1：（6+8）×5=70块，先求出一行瓷砖有（6+8）块，有5行，所以是（6+8）×5=70 预设方法2：6×5+8×5=70块，先求出每一面墙多少块瓷砖，左面墙为6×5，右面墙为8×5，然后把它们加起来就是总的。 追问：仔细观察这两个算式，看看有什么发现？ 核心问题2：两个算式不同，所得的结果却相同，你能尝试分析这两个式子的结果为什么会相等吗？ 角度1：乘法的意义，（6+8）个5等于6个5加上8个5，所以（6+8）×5=6×5+8×5 角度2：求图形面积，数形结合，如图3所示。  图3 角度3：…… ⑶设计意图。 创设“铺瓷砖”的情境，为学生探究乘法分配律提供直观化素材。创设问题提出任务，让学生主动从情境中抽象出数学问题，培养学生提出问题的能力，为深度学习打好基础。让学生结合问题情境，并以不同视角解决问题，从中发现规律，引出乘法分配律的雏形，为深度学习搭好支架。让学生从乘法的意义和求图形面积角度对乘法分配律进行解释，体会乘法分配律的意义，引领学生进行深度学习。 2．教学模块2：类别化归纳 ⑴活动任务。让学生从具体实例中概括出乘法分配律，并引导学生形成观念层面的理解，把握乘法分配律的实质，突破教学难点。 ⑵活动过程。 核心问题3：如果工人师傅继续铺瓷砖，类似这样的等式还有没有呢？你能将它们列举出来吗？请同学们独立思考并用自己的话说一说你发现了什么规律？ 支点2：体现数学文化的美育价值。教师注意引导学生从自己的语言中逐渐归纳出乘法分配律的符号表达，使学生感受数学语言所展现的简洁美。 引导方式1：你能否像前面几节课那样，用字母表达这个规律呢？ 引导方式2：同学们都说得很好，只是在数学中我们喜欢用数学语言，即用“（a+b）×c=a×c+b×c”这样的字母进行表达，会更加简洁明了。 追问：有没有同学能解释一下用字母表示的式子左右两边为什么相等？ 角度1：乘法的意义，（a+b）个c等于a个c加上b个c，所以（a+b）×c=a×c+b×c 角度2：求图形面积，如图4所示。  图4 揭示：我们刚才发现并用字母表示的规律，在数学中叫“乘法分配律” ⑶设计意图。超越具体的例子，借助文字与符号的一般化归纳乘法分配律，并感受数学语言的简洁性，体现数学文化的美育价值，继续进行深度学习，突破重难点。 3．教学模块3：理解、内化（解决问题） ⑴活动任务。 练习1和练习2是在数学应用中强化学生对乘法分配律的辨识；练习3从竖式计算的角度进一步让学生体会乘法分配律的意义，拓展思维广度；游戏环节不仅增强了课堂教学的趣味性，还让学生在“先求和，再相乘”和“分别相乘，再相加”两种思想活动中强化结构意识，为理解乘法分配律提供支撑。 ⑵活动过程。 练习1运用乘法分配律进行计算。 （4+2）×25 （40+8）×25 56×101 125×81 练习2下面哪些算式是正确的？正确的画“√”，错误的画“×”。 56×（19+28）=56×19+28 （ ） 32×（7+3）=32×7+32×3 （ ） 64×64+36×64=（64+36）×64 （ ） 练习3观察竖式，说说在计算的过程中运用了什么运算定律。  支点3：体现数学文化的智育价值。教师注意引导学生观察“25×12”的笔算过程，让学生发现笔算过程与乘法分配律的关系，即25×12=25×（2+10）=25×2+25×10，强化对乘法分配律意义的理解，使学习结构化，渗透“联系”的思想。 游戏：运用乘法分配律就一定能算得比较快吗？我们来比比看。 125×16 102×22 146×34 教师请两个学生到讲台比赛，并依次给出算式，使两个学生一个直接使用竖式计算，另一个运用乘法分配律计算（“分别相乘，再相加”的思路），其他学生作为裁判。 支点4：体现数学文化的智育价值。游戏过程还需注意几点：一是建议呈现的算式的计算难度依次递增，如教案给出的例子“125×16”运用乘法分配律计算会更快，“102×22”使用乘法分配律或竖式计算两种方式的速度相当，“146×34”使用乘法分配律并不简便，使学生感悟不同运算方法的意义。二是注意游戏的延展性，比如“125×16”的计算不仅可以使用乘法分配律或竖式计算，而且可以采取逆向运用乘法结合律的方法，即125×（8×2）。教师要依据教学过程中学生的生成情况采取不同教学方法，考虑将乘法分配律和竖式计算的比赛游戏拓展为多种方法并存的比赛，深化“联系”的意义。另外，可以根据实际情况补充或修改算式。 ⑶设计意图。 练习1强化乘法分配律的应用，使学生明显感觉到乘法分配律在运算中十分简便。练习2辨识乘法运算定律，进一步强化乘法分配律。练习3让学生从联系的角度沟通乘法笔算过程与乘法分配律的关系，使新旧知识的学习结构化，进一步加深对乘法分配律意义的理解（深度学习），体现数学文化的智育价值。在练习3的基础上进行游戏，不仅能增强教学过程的趣味性，还能进一步强化学生对乘法分配律的理解（深度学习），培养学生思维灵活性。 4．教学模块4：凝策略、悟思想 ⑴活动过程 提问：同学们，这节课我们学了什么知识呢？请你看着黑板说一说。  数学思想：归纳、数形结合、联系 拓展：结合这个乘法分配律，你还有哪些大胆的猜想？ 角度：乘法对多个加数的分配律；乘法对减法的分配律；加法与除法分配律；减法与除法分配律；学生在前置学习单中提出的其他问题。 ⑵设计意图 从数学知识和数学思想两方面进行小结，实现数学文化显性和隐性的合体。概念变式和拓展思考为下节课的深度学习做好铺垫。 正如教案中的支点及设计意图的说明，本设计最大特点就是挖掘出数学文化的显性和隐性素材，并最大程度地在教学结构各模块中得以彰显。 （三）“乘法分配律”课例简述及反思 课题组执教教师按照教案设计的环节逐一展开教学，教案中设计的核心问题和相应活动都得以开展，总体效果相较于执教教师之前的授课过程有较大改观和进步。执教教师在课后总结中写道：“上完这节课，我的内心是愉悦的，因为我看到了学生在数学课上该有的样子和笑容。课堂上，学生积极参与、积极提问，很多问题都是由学生发出的，然后学生大胆交流，分享自己的观点，最后讨论解决问题，充满了数学味道。让我最意想不到的是，在课堂最后，从学生的眼神中还可以看到对乘法分配律的兴趣，他们提了很多相关的问题，我要为学生点赞。这节课，在课堂上我灌输式的结论少了，学生自主发现的规律多了。课堂上练习的量变少了，但是变活了、精炼了。学生在练习时很轻松，能够熟练完成题目，并且还能解释为什么是这样。” 执教教师这节课有以下亮点：一是营造了数学文化教学的“内环境”。教师基于尊重和关爱学生的理念以及数学学习的特点，鼓励学生，并和学生一起思考和探究数学问题，进行数学交流。学生在数学课堂上能够集情感、认知和行为一起投入到数学探究活动中，并且获得了相应的成就感和价值感，促进了学生主体性的成长。二是促进了深度学习的产生，加深了学习进程。教师通过设计良好的核心问题链，引导学生投入到解决问题的活动中，激发学生高阶数学思维的参与，这也正是深度学习微观设计策略的具体体现。三是充分挖掘了与乘法分配律内容有关的数学文化素材。正如教案所呈现的几个支点，既有对教材内容的深入理解和挖掘，也有对读本《数学文化》中对应内容素材的改造和挖掘。 当然这节课还有一些值得改进的地方。例如，在引导学生解决第3个核心问题的探究活动过程中，乘法分配律的公式出来得快了些，没有充分展现出数学文化的支点2所提示的数学简洁美。另外，教案所设计的对符号表达的乘法分配律公式再次用乘法的意义和图形面积等角度进行解释和理解的活动并没有实施，对以高阶思维参与为主要特征的深度学习的效度可能产生一定负面影响。 四、结语 通过对数学文化和深度学习内在关系的思索，在已有研究基础上，对数学文化进行界定和解释，并设计基于数学文化的小学数学深度学习的教学结构，对相应模块的搭配和安排进行了理论解释。依据该教学结构的图示和解读，选择“乘法分配律”进行教案设计，执教教师在研读和熟悉教案后严格按照所设计的教学结构实施教学，收到了较好的教学效果，突显了学生的主体性和价值感，实现了教学相长。立足数学文化和深度学习的理念和设计，本节课还存在一些问题，还需要继续深入研究，打造更优化的基于数学文化的小学数学深度学习的教学结构。此外，关于该主题还有许多问题需要探索，例如，基于数学文化的小学数学深度学习还可以有其他的教学结构吗？这样的深度学习有水平划分吗？各个水平的观测指标有哪些？不同领域的教学内容的深度学习教学结构的相同点和不同点是什么？基于数学文化的小学数学深度学习是如何体现立德树人的基点的，又是如何促进学生数学学科核心素养的提升的？数学文化的价值主要体现在德育价值、美育价值和思维训练价值方面，小学数学文化深度教学如何一体化实现这些价值呢？这些问题都是未来努力的方向。 |
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