寒假中考复习策略四：一次函数有关的实际应用问题

当以读书通世事 2021-01-31

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在往年中考数学当中，存在着不少与实际生活工作相关的应用问题，我们可通过建立一次函数的关系式y=kx+b（k≠0），可利用函数的增减性去解决问题，如当k<0时，一次函数是减函数，在自变量x的取值范围内，自变量x随着y的增大而减小，可根据自变量x的最小值或最大值而求得 y的最值；当k>0时，一次函数是增函数，在自变量x的取值范围内，自变量x随着y的增大而增大，可根据自变量x的最小值或最大值求得y的最值。

一次函数有关的实际应用问题，一般是以现实生活为背景，题型的内容紧密联系生活实际，对于缺少生活经验的学生来说，可能会存在一些困难。其实此类试题一般考查了三个知识点：

怎样求一次函数的解析式？

怎样解不等式、求出自变量x的取值范围？

怎样运用一次函数的增减性求最大值。

应用题的难度总体不高，但设计新颖、精巧、贴近生活，突出了考查基本方法和基础知识，突出了数学知识来源于生活，突出了应用数学的意识，有利于考查学生的思维和应变能力，因而通过解题，可让学生体会到数学的价值。

如下面这道应用问题就是和交通运输有关，非常贴近生活实际。

快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行．快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之问的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数图象．请结合图象信息．解答下列问题：

（1）直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；

（2）求快车从B 返回 A站时，y与x之间的函数关系式：

（3）出发几小时，两车相距200千米?请直接写出答案。

考点分析：

一次函数的应用。

题干分析：

（1）慢车的速度由快车到达B站后停留1小时，慢车行驶的路程880－800=80千米可求得：80÷1=80（千米/小时）。

快车的速度同两车相遇到快车到达B站的路程800－80×4=480千米，

时间4小时可求得： 480÷4=120（千米/小时）。

A、B两站间的距离由快车行驶10小时可求得：120×10=1200（千米）。

（2）求出点Q的坐标，用待定系数法分别求出PQ和QH的解析式即可。

（3）由C（0，1200），D（6，0），用待定系数法可得CD：y=-200x+1200。

当y=200时，x=5。

由D（6，0），E（10，800），用待定系数法可得DE：y=200x-1200。

当y=200时，x=7。

由QH：y=-200x+2520，当y=200时，x=58/3。

综上所述，出发5小时或7小时或3/58小时，两车相距200千米。

近年来的中考题中，有许多涉及到一次函数的应用题，这些题目关注社会改革，接近现实生活，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力。

一次函数问题大致可分为：

（1）运用图像信息，解答实际问题；

（2）求实际问题中的函数解析式；

（3）以经济核算为内容的方案比较；

（4）解决最值问题。

夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？

（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200株；利润=销售所得金额﹣进货所需金额）

考点分析：

一次函数的应用。

题干分析：

设采购马蹄莲x株，由于马蹄莲数量大于1000株时，每株玫瑰降价0.5元，因此需分两种情况讨论即800≤x≤1000和1000＜x≤1200．按照等量关系“采购马蹄莲的花费+采购康乃馨的花费=总花费”“毛利润=鲜花店卖出马蹄莲和康乃馨所获的总金额﹣购进马蹄莲和康乃馨的所需的总金额”，列出函数求得毛利润最大值。

一次函数及其图像是初中函数里重要内容，也是历年中考数学重点考查内容。中考考查一次函数题型有多种多样，如有考定义、求解析式，主要是判断一个函数是否为一次函数，这时候我们要从三个方面进行观察：

1、首先必须是整式；

2、次数，自变量的最高次数是否为一次；

3、系数，将函数化简后，自变量x的系数不为零。