【原】斐波那契数列相关的极限和级数问题典型题剖析（一）

引言

斐波那契数列（Fibo nacci seq uence），又称黄金分割数列，由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170-1250）在1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

 

它指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，在数学上，斐波纳契数列以如下递归方法定义：

由于其第1项取为0，故也经常定义为

斐波纳契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用，并在计算机C语言程序题中应用广泛。同时，斐波那契数经常出现在自然界中，比如一些植物的叶、枝、茎、花瓣的数量，排列、生长规律等都表现为一些斐波那契数或其变化规律。

 

斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现。

在FOX 热播美剧《Fringe》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。

另外，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

 【注】先自行练习，然后再看之后的思路、思想与方法、过程分析. 如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习1：求斐波那契(Fibonacci)数列的通项公式．

练习2：设数列满足

(1) 证明:

(2) 判断级数和是否收敛?

练习3：证明：级数收敛，并求和，其中

练习4：设为Fibonacci数列，即

记，求

练习5：若可微函数 在 上满足 ，且 ，任取

证明级数 绝对收敛.

练习6：设 是区间 上的可微函数， ，其中 . 任取实数 ，定义

证明级数 绝对收敛.

练习7：已知 ，且对 ，有

作数列

证明 收敛﹐且极限 满足 .

内容待续 ...

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参考文献：

[1] 百度百科词条：斐波那契数列

[2] 周民强.数学分析习题演练（第1册）北京:科学出版社，2006.

[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.2版.北京:高等教育出版社，2006.