最值系列之将军饮马（一）

什么是将军饮马？

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB

当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

02将军饮马模型系列

“一定两动”之点到点

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小。

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【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P''，化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．

当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．

“两定两动”之点到点

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。

“一定两动”之点到线

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

03几何图形中的将军饮马

寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置

正方形中的将军饮马

【关于对角线对称】

如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是________．

【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．

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【假装不存在的正方形】

（2019山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）

A．（2，2） B．（5/2，5/2）

C．（8/3，8/3） D．（3，3）

【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称：

也可以作点C的对称：

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【隐身的正方形】

（2017辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5，故选B．

三角形中的将军饮马

【等边系列】

如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．

【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值．

过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7．

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【隐身的等边三角形】

如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是________．

【分析】对称点并不一定总是在已知图形上．

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【角分线系列之点到点】

（2018山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为________．

【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C'E+EF，当C'、E、F共线时得最小值，C'E为CB的一半．

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【角分线系列之点到线】

（2018辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是________．

【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'．

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值．

菱形、矩形中的将军饮马

【菱形高】

（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．

【分析】此处P为折点，作点M关于AC的对称点M'，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM'．

当E、P、M'共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC·BD=BC·EM'.

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【折点在边上】

（2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是__________．

【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D'，连接AD，与y轴交点即为所求E点．

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【面积与折点】

（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足△APB的面积是矩形ABCD面积的三分之一，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________．

【分析】由△APB面积是矩形面积三分之一，可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关于MN的对称点B'，化折线PA+PB为PA+PB'．

当A、P、B'共线时，取到最小值．

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【全等与对称】

（2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为________．

【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F'，则BF'=BF=DH=CM，∴MF'=BC=5，MH=DC=10，∴HF'为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5．

04特殊角的对称

60°角的对称

（2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP为根号3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是_________．

【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P'、P''，化△PMN周长为P'N+NM+MP''．

当P'、N、M、P''共线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=120°，OP'=OP''=OP，可得最小值．

30°角的对称

（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_________．

【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M'如图所示，连接PM'，化PM+PN为PM'+PN．

当M'、P、N共线时，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P点坐标可求．

20°角的对称

如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为____________．

【分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+MP'+P'N

此处P'为折点，作点N关于OP'对称点N'，化AM+MP'+P'N为AM+MP'+P'N'

当A、M、P'、N'共线且AN'⊥ON'时，值最小．