【原】《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重諸勾股形有關三邊之差之等式，例如髙差、旁差、極雙差、平差、虛差、虛雙差、明雙差等。

關鍵詞：髙差、旁差、極雙差、平差、虛差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即 a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

本文著重十五勾股形有關三邊之差之等式。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

以下為有關諸差之式：

髙差內減平差為旁差。邊差內減底差亦同上。明差內減差亦同上。大差差內減小差差為二旁差。黃廣差內減黃長差亦同上。

極雙差即明二弦共。內加虛雙差即明二和共。內減虛雙差即明雙差雙差共也。內加旁差即極弦內少個虛弦旁差差。內減旁差即虛和也。內加虛差即極弦內少二股。內減虛差則極弦內少二明勾也。

以下為各條目之証明：

髙差內減平差為旁差。

“髙差”指髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞上勾股較。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“平差”指平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

髙差內減平差﹝以髙差為被減數﹞，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) –(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(b₁ – a₁)

=  (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)²。

------------------------------------------

“旁差”又名“傍差”，據《測圓海鏡》所云，明二差較名為傍差。“差”指勾股較，“明差”指明弦上之勾股較，其餘類推。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

二差較 = 明差 – 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] – (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

----------------------------------

以上之式是為“旁差”。所以髙差內減平差 = 旁差。

邊差內減底差亦同上。

“邊差”指“邊弦上勾股較”，“邊弦上勾股較”指 b₂ – a₂﹝在勾股形天川西 2﹞。

b₂ – a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) – (c₁ + b₁ – a₁)

= (c₁ + b₁ – a₁) (1 –)

= (c₁ + b₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

“底差”指“底弦上勾股較”，而“底弦上勾股較”指 b₃ – a₃﹝在勾股形日地北 3﹞。

b₃ – a₃ = (a₁ – b₁ + c₁) –(a₁ – b₁ + c₁)

=(a₁ – b₁ + c₁)( – 1)

=(a₁ – b₁ + c₁)(b₁ – a₁) 。

邊差內減底差，即：

(c₁ + b₁ – a₁)(b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[(c₁ + b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)]

= (b₁ – a₁)[a₁(c₁ + b₁ – a₁) – b₁(a₁ – b₁ + c₁)]

= (b₁ – a₁)[a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² – b₁a₁ + b₁² – b₁c₁]

= (b₁ – a₁)[a₁c₁ – a₁²+ b₁² – b₁c₁]

= (b₁ – a₁)[a₁c₁ – a₁²+ b₁² – b₁c₁]

= (b₁ – a₁)[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ – a₁)[(b₁ + a₁) – c₁]

= (b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁) 。

比較答案兩式，可知相等，所以邊差內減底差 = 旁差。

明差內減差亦同上。

明二差較名傍差，見前文。明二差較即明差內減差，明差內減差乃《測圓海鏡》旁差之定義。

大差差內減小差差為二旁差。

“大差差”指大差﹝在勾股形天月坤 10﹞上之勾股較，勾股較即勾股差。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 – )

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

“小差差”指小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上之勾股較。

小差上勾股較 = b₁₁– a₁₁ = – (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(– 1)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁) 。

大差差內減小差差，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)]

= (b₁ – a₁)[ a₁(c₁ – a₁) – b₁(c₁ – b₁)]

= (b₁ – a₁)(a₁c₁ – a₁² –b₁c₁ + b₁²)

= (b₁ – a₁)[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ – a₁)[(b₁ + a₁) – c₁]

= (b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁)。

二旁差= 2 ×(b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁) = (b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁)。

比較兩式可知相同，所以大差差內減小差差 = 二旁差。

黃廣差內減黃長差亦同上。

黃廣差﹝在勾股形天山金 4﹞指黃廣弦之勾股較。

金山勾 ﹝又稱黃廣勾﹞：a₄ = (a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

天金股﹝又稱黃廣股﹞：b₄ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

黃廣勾股較 = b₄ – a₄ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

黃長差﹝在勾股形月地泉 5﹞指黃長弦之勾股較。

月泉股﹝又稱黃長股﹞：b₅ = (a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

泉地勾﹝又稱黃長勾﹞：a₅ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

黃長勾股較 = b₅ – a₅ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

黃廣差內減黃長差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) –(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)²。

所以黃廣差內減黃長差 = 二旁差﹝見前式﹞。

極雙差即明二弦共。

所謂“極雙差”乃指日心股之勾弦差及股弦差之和，是為“雙差”。

已知極弦：c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁)。極股：b₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁)。

極勾：a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁)。

以下為勾弦差及股弦差：

c₁₂ – a₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]，

c₁₂ – b₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]，

極雙差 = 即以上兩式之和，即：

(a₁ + b₁ – c₁)[– 1] + (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

山川弦﹝簡稱弦﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明二弦共 = c₁₄ + c₁₅。

c₁₄ + c₁₅ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[ (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

比較答案兩式，可知相等，所以極雙差 = 明二弦共。

內加虛雙差即明二和共。

“虛雙差”即太虛勾弦較與太虛股弦較之和﹝在勾股形月山泛 13﹞。

已知太虛勾弦較 = c₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²。

所以虛雙差 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² + (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

所以極雙差 +虛雙差，即：

 (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ + a₁ + b₁ – c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) 。

又已知“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ +a₁₄﹝在勾股形日月南 14﹞，即：

 b₁₄ + a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“和”即弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ ﹝在勾股形山川東 15﹞，即：

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

明二和共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)[ (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) 。

比較兩式可知相同，所以極雙差內加虛雙差 = 明二和共。

內減虛雙差即明雙差雙差共也。

本條指極雙差內減虛雙差。

極雙差– 虛雙差，即：

 (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ – a₁ – b₁ + c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²。

明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較=c₁₄ – a₁₄。

c₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)。

所以明雙差

= (b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁)。

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ – 1]

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ – a₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

弦上雙差

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) + (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

明雙差雙差共

= (b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) +
(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ – a₁ – b₁ + c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²。

所以極雙差內減虛雙差 = 明雙差 +雙差。

內加旁差即極弦內少個虛弦旁差差。

已知極雙差 = (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 及

旁差 = (b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁) 。

本條指極雙差內加旁差

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) +(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁(2c₁ – a₁ – b₁) + (b₁ – a₁)²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[2c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + a₁² + b₁² – 2b₁a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)[3c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ – 2b₁a₁] 。

又已知太虛弦：c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以虛弦、旁差之差，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁)

= (b₁ + a₁ – c₁)² –(b₁ – a₁)²(b₁ + a₁ – c₁)

= (b₁ + a₁ – c₁)[c₁(b₁ + a₁ – c₁) – (b₁ – a₁)²]

= (b₁ + a₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² –b₁² – a₁² + 2b₁a₁]

 = (b₁ + a₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – 2c₁² + 2b₁a₁]。

日川皇極弦﹝簡稱皇極弦﹞：c₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

極弦內少個虛弦、旁差之差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –(b₁ + a₁ – c₁)[c₁b₁ + c₁a₁ – 2c₁² + 2b₁a₁]

= (b₁ + a₁ – c₁)[c₁² – (c₁b₁ + c₁a₁ – 2c₁²+ 2b₁a₁)]

= (b₁ + a₁ – c₁)(c₁² –c₁b₁ – c₁a₁ + 2c₁² – 2b₁a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[3c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ – 2b₁a₁] 。

比較兩式，可知極雙差內加旁差 = 極弦內少個虛弦旁差之差。

內減旁差即虛和也。

本條指極雙差內減旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁(2c₁ – a₁ – b₁) – (b₁ – a₁)²]

= (a₁ + b₁ – c₁)[2c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ – a₁² –b₁² + 2b₁a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + 2b₁a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)[a₁² + b₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + 2b₁a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁)² – c₁(a₁ + b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) (b₁ + a₁)。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

虛和即太虛勾股和。

太虛勾股和=b₁₃ + a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[+]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)。

所以極雙差內減旁差 = 虛和。

內加虛差即極弦內少二股。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

極雙差內加虛差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁(2c₁ – a₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ + b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – 2c₁b₁ + b₁² – a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2a₁²+ 2b₁² – 2c₁b₁ + b₁² – a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁²+ 2b₁² – 2c₁b₁ + b₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁²+ 2b₁² – 2c₁b₁) 。

已知極弦：c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁)。

山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

極弦內少二股，即：

(a₁ + b₁ – c₁) – 2 × (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)[– (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁² – 2c₁b₁ + 2b₁²) 。

所以極雙差內加虛差 = 極弦內少二股。

內減虛差則極弦內少二明勾也。

本條即極雙差內減虛差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁(2c₁ – a₁ – b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – c₁a₁ – c₁b₁ – b₁² + a₁² + c₁b₁ – c₁a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – 2c₁a₁ – b₁² + a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2a₁²+ 2b₁² – 2c₁a₁ – b₁² + a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(3a₁²+ b₁² – 2c₁a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁²+ 2a₁² – 2c₁a₁)。

已知極弦：c₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁)。

南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

極弦內少二明勾，即：

(a₁ + b₁ – c₁) – 2 × (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[– (c₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁²+ 2a₁² – 2c₁a₁)。

比較答案兩式，可知相等，所以極雙差內減虛差 = 極弦內少二明勾。

以下為《測圓海鏡細草》原文：