2021年八省联考之函数同构

[引言]2021年1月23日至25日，广东省、辽宁省、河北省、湖南省、湖北省、福建省、江苏省、重庆市八个省份进行了第一次新高考前的模拟联考。其中的数学试题，题型诡异，难度莫测，褒贬不一。现选取其中的若干试题，试图以“母题”思维，予以解析，助力考生。

[题目1](2021年，八省联考，7)已知抛物线y²=2px上三点A(2,2),B,C，直线AB,AC是圆(x-2)² y²=1的两条切线，则直线BC的方程为（    ）

A)x 2y 1=0      B)3x 6y 4=0

C)2x 6y 3=0      D)x 3y 2=0

[答案]B

[解析]由于抛物线y²=2px过点A(2,2)，所以p=1。因此抛物线的方程为y²=2x。

由于A,B,C三点都在抛物线上，所以考虑采用函数同构的方法进行处理。不失一般性，设点B(x1,y1)，C(x2,y2)。那么适用于直线BC的结论，也一定适用于直线AB和AC。

点B和点C都在曲线上，

利用点差法，有

根据函数同构，可得

做出抛物线和圆的图像，点P和点Q分别为直线AB和AC的切点。

连接FQ,FQ和FA，由数形结合可知，

于是直线AB和AC的倾角分别为π/3，2π/3，即

联立k_AB，k_AC可得

于是，

同理，有

代入k_BC有，

四个选项中，只有选项B符合要求，故选B。

注：本题采用的是同构解法，实际上有更一般性的结论：直线与抛物线交于两点，若两点的纵坐标之和为定值，则该直线的斜率为定值；若两点的纵坐标之积为定值，则该直线过定点。

例如设直线PQ的方程为x=ty m，抛物线的方程为y²=2px，点P(x1,y1)以及点Q(x2,y2)，其中p＞0，则有

消去x，可得

根据根与系数的关系，有

如果直线PQ的斜率k存在，则t的几何意义为k的倒数。m为直线PQ在x轴上的截距。

对于本题而言，

于是

根据前述求得的直线BC的斜率-1/2，将(4/3,0)代入，利用点斜式有，

[题目2](2021年，八省联考，8)已知a＜5且ae⁵=5e^a，b＜4且be⁴=4e^b，c＜3且ce³=3e^c，则（   ）

A)c＜b＜a    B)b＜c＜a   C)a＜c＜b    D)a＜b＜c

[答案]D

[解析]将所给的条件变形，可得

同理可得，

于是考虑构造函数f(x)，

其图像如图所示。

显然图中的点A，点B和点C即对应题目中的a,b,c。由于函数f(x)在x＜1时单调递减，于是有a＜b＜c。故选D。

[后记]函数同构的思想自2020年以来，大行其道，风头无两，不可不知。