高中数学 | 抛物线的顶点和对称轴

二次函数的图象是一条抛物线，这条抛物线是轴对称图形，其顶点的横坐标为，对称轴是直线，可见，对称轴是经过顶点且垂直于x轴的一条直线。

当时，方程有不相等二实数根和，相应的抛物线与x轴有两个不重合的交点和。而对称轴恰为线段AB的垂直平分线。这是因为。换言之，在这种情况下，对称轴方程也可以改写为。

例1、已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（7，0），顶点为M，且△MAB是等腰直角三角形，求抛物线的解析式。

分析：设与是抛物线图象上的两点，显然直线AB//x轴。此时抛物线对称轴方程为。这一点很容易证明。A、B在x轴上时是一种特殊情况。

解析：由抛物线的对称性知MA=MB，并且。

对称轴为。△MAB为等腰直角三角形，所以斜边AB上的高即斜边上的中线，则高为

顶点M的坐标为（4，3）或（4，-3）。

当M（4，3）时，设，将A（1，0）代入，求得。

这时，

当M（4，-3）时，同理可得。

这时。

例2、已知不等式对于任何实数x都成立，且抛物线经过和两点，抛物线的顶点为C，且△ABC是等边三角形，求抛物线的解析式。

解析：成立，说明且，抛物线在x轴下方，且与x轴无交点。

由点A与点B的纵坐标相等，得对称轴方程为，线段AB之长为4+2=6。由△ABC为正三角形，可求得AB边上的高为。因为抛物线顶点在x轴下方，故坐标为。

设解析式为。将代入可求得。

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