【原】《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差4﹞

《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差4﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重十五勾股形之角差及虛差之相關等式。

關鍵詞：極差、旁差、角差、虛差、次差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
 a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

本文乃以上三文之延續。閱讀本文宜注意角差、旁差及次差之定義。

以下為有關“角差”及相關之等式：

角差內加旁差為二髙差。內減旁差即二平差也。內加明二差併而半之得極差。內減明二差而半之則虛差也。內加極差則通差。內減極差則虛差也。

以虛差減於明和為明二股共。以虛差加於和為明二勾共也。又副置二和共上加次差而半之即明二股共。減次差而半之即明二勾共也。明二股共以髙差為之較。明二勾共以平差為之較。

以下為各條目之証明：

角差內加旁差為二髙差。

據《測圓海鏡》所云，“髙股平勾差”是為“角差”。

髙股：b₆ = = (a₁ + b₁ – c₁)， 平勾：a₈ = = (a₁ + b₁ – c₁)。

髙股平勾差 = b₆ – a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)。

以上是為“角差”或稱為“逺差”。

“旁差”又名“傍差”，據《測圓海鏡》所云，“明二差較”是為傍差。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

旁差 = 二差較 = 明差 – 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] – (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁) 。

以上之式是為“旁差” 。

角差內加旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) + (b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁) × 2b₁

=(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

“髙差”即髙勾髙股差 = b₆ – a₆﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞。

髙勾髙股差= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)( – 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

二髙差= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) = (b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

比較兩式可知相同，所以角差內加旁差 = 二髙差。

內減旁差即二平差也。

本條指角差內減旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) – (b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁) × 2a₁

=(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

兩個平差= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式，可知角差內減旁差 = 二平差。

內加明二差併而半之得極差。

據《測圓海鏡》所云，明二差共名“次差”，又名近差，又名戾﹝音列﹞和。

明差指明勾與明股之差。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

差指勾與股之差。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

二差共 = 明差 + 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] + (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–](c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

上式是為次差，故明二差共得次差。

角差內加次差即角差內加明二差併，即：

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) +(2c₁ – a₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁) × 2c₁。

“半之”即 × ，即得 (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

“極差”指皇極勾股較。

已知皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式，可知角差內加明二差併而半之 = 極差。

內減明二差而半之則虛差也。

本條指角差內減明二差併，即：

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(b₁ + a₁) – (2c₁ – a₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁) × 2(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²。

“半之”即 × ，即得 (a₁ + b₁ – c₁)² #。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)² #。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

所以角差內減明二差而半之 = 虛差。

內加極差則通差。

“極差”指皇極勾股較﹝在勾股形日川心 12﹞。

已知皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

角差內加極差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(a₁ + b₁) + c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ + c₁)

= [(a₁ + b₁)²– c₁²](b₁ – a₁)

= [a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – c₁²](b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁) × 2a₁b₁

= b₁ – a₁ #。

上式是為通差。所以角差內加極差 = 通差﹝在勾股形天地乾 1﹞。

內減極差則虛差也。

本條指角差內減極差，即：

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(a₁ + b₁) – c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

“虛差”指太虛勾股較 =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #﹝見前條﹞。

比較答案兩式可知相等，所以角差內減極差 = 虛差。

以虛差減於明和為明二股共。

已知“虛差”=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ + a₁₄。

明弦勾股和= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

以虛差減於明和，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –(a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)[c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁– (b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁– b₁² + a₁²+ c₁b₁ – c₁a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – a₁b₁– b₁²)

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – a₁b₁– b₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × b₁

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) # 。

已知日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明二股共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較兩式，可知以虛差減於明和 = 明二股共。

以虛差加於和為明二勾共也。

已知“虛差”=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

“和”即弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

虛差加於和，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

= (a₁ – c₁ + b₁)²(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)[(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(b₁ + a₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(b₁² – a₁² –c₁b₁ + c₁a₁ + c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)(– a₁² + 2c₁a₁ – a₁b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × a₁

=(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

東川勾﹝又稱勾﹞：a₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明二勾共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較答案兩式，可知相等，所以以虛差加於和 = 明二勾共。

又副置二和共上加次差而半之即明二股共。

本條之“二和共”指明二和共。

已知“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ +a₁₄﹝在勾股形日月南 14﹞，即：

 b₁₄ + a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“和”即弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ ﹝在勾股形山川東 15﹞，即：

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

明二和共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)[ (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) 。

又已知次差 = (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

二和共上加次差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) +
(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(a₁ + b₁) + (b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × 2b₁

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

“半之”即 × ，即得 (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知明二股共 = (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較兩式，可知明二和共上加次差而半之 = 明二股共。

減次差而半之即明二勾共也。

本條指二和共上減次差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(a₁ + b₁) –
(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(a₁ + b₁) – (b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × 2a₁

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

“半之”即 × ，即得 (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知明二勾共 =(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #﹝見前條﹞。

比較兩式，可知明二和共上減次差而半之 = 明二勾共。

明二股共以髙差為之較。

已知明二股共 = (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)﹝見前條﹞。

“髙差”指髙弦上勾股較﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

依《測圓海鏡》所云，(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 乃
 (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之“較”，含因子 (b₁ – a₁) 之式是為“較”，即將 (b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之因子 (2c₁ – a₁ – b₁) 更換成因子 (b₁ – a₁)，有此關係， 遂說成 (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 乃
(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之“較”。

明二勾共以平差為之較。

已知明二勾共 =(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)﹝見前條﹞。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

依上條之定義，(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 乃 (a₁ – c₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 式之“較”。

以下為《測圓海鏡細草》原文：