【原】《測圓海鏡》﹝諸差6﹞之邊弦、底弦等式說

《測圓海鏡》﹝諸差6﹞之邊弦、底弦等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重十五勾股形中之邊弦、底弦之相關等式。

關鍵詞：邊弦、底弦、邊股、平差、邊勾

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²﹝圓徑平方之半﹞。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下之文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差 4﹞

《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式

本文乃以上五文之延續。

以下為有關“邊弦”及相關之等式：

邊弦內減底弦即皇極差。邊股內減底股即髙差。又為底弦內減大勾。邊勾內減底勾即平差。又為大股內減邊弦也。

大勾減底弦餘即半徑，為勾之中差也。大股內減邊弦餘即半徑，為股之中差也。邊股底勾相並即大弦。若以相減即通中差也。

二髙股一虛差合成一個股圓差。二平勾一虛差合成一個勾圓差﹝案：此二條誤，當云“二明股一虛股合成一個股圓差，二勾一虛勾合成一個勾圓差也。”﹞

以下為各條目之証明：

邊弦內減底弦即皇極差。

已知天川邊弦﹝簡稱邊弦，在勾股形天川西 2﹞：c₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

日地底弦﹝簡稱底弦，在勾股形日地北 3﹞：c₃ = ( a₁ –b₁ + c₁) 。

邊弦內減底弦，即：

(c₁ + b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)

= [(c₁ + b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)]

= [a₁(c₁ + b₁ – a₁) – b₁(a₁ – b₁ + c₁)]

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² –b₁a₁ + b₁² –b₁c₁)

= (a₁c₁ – a₁² + b₁² –b₁c₁)

= [(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #。

又“皇極差”指皇極勾股較。

已知皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，所以邊弦 – 底弦 = 皇極差。

邊股內減底股即髙差。

已知天西邊股﹝簡稱邊股，在勾股形天川西 2﹞：
b₂ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁) 。

日北底股﹝簡稱底股，在勾股形日地北 3﹞：b₃ = = (a₁ – b₁ + c₁) 。

邊股內減底股，即：

(c₁ + b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)

= [(c₁ + b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)]

= [a₁(c₁ + b₁ – a₁) – b₁(a₁ – b₁ + c₁)]

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² –b₁a₁ + b₁² –b₁c₁)

= (a₁c₁ – a₁² + b₁² –b₁c₁)

= [(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #。

已知“髙差”即髙勾髙股差。

髙勾髙股差= b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)( – 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，所以邊股內減底股 = 髙差。

又為底弦內減大勾。

已知日地底弦﹝簡稱底弦﹞：c₃ = (a₁ – b₁ + c₁) 。

大勾﹝在勾股形天地乾 1﹞ = a₁。

底弦內減大勾，即：

(a₁ – b₁ + c₁) – a₁ = [c₁(a₁ – b₁ + c₁) – 2a₁²]

=[c₁a₁ – c₁b₁ + c₁² – 2a₁²]

=[c₁a₁ – c₁b₁ + a₁² + b₁² – 2a₁²]

=[c₁a₁ – c₁b₁ + b₁² – a₁²]

=[(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

=(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #。

所以邊股內減底股 = 底弦內減大勾。

邊勾內減底勾即平差。

西川邊勾﹝簡稱邊勾﹞：a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

北地底勾﹝簡稱底勾﹞：a₃ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

邊勾內減底勾，即：

(c₁ + b₁ – a₁) –(a₁ – b₁ + c₁)

= [(c₁ + b₁ – a₁) – (a₁ – b₁ + c₁)]

= [a₁(c₁ + b₁ – a₁) – b₁(a₁ – b₁ + c₁)]

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² –b₁a₁ + b₁² –b₁c₁)

= (a₁c₁ – a₁² + b₁² –b₁c₁)

= [(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式，可知邊勾內減底勾 = 平差。

又為大股內減邊弦也。

已知大股﹝在勾股形天地乾 1﹞= b₁。

天川邊弦﹝簡稱邊弦﹞：c₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

大股內減邊弦，即：

b₁ – (c₁ + b₁ – a₁) = [2b₁² – c₁(c₁ + b₁ – a₁)]

= (2b₁² – c₁² –c₁b₁ + c₁a₁)

= (2b₁² – a₁² –b₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

= (b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

=[(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

=(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #。

比較兩式，可知大股內減邊弦 = 平差。

大勾減底弦餘即半徑為勾之中差也。

“大勾減底弦”即底弦內減大勾即 = (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #﹝見前條﹞。

已知半徑 = (a₁ + b₁ – c₁)；中差=(b₁ – a₁) ；勾之中差 =(b₁ – a₁)；

半徑為勾之中差 = (a₁ + b₁ – c₁) ×(b₁ – a₁)

 = (b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

所以大勾減底弦 = 半徑為勾之中差也。注意“勾之中差”之定義。

大股內減邊弦餘即半徑為股之中差也。

已知大股內減邊弦 =(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #﹝見前﹞。

圓半徑 = (a₁ + b₁ – c₁)；中差=(b₁ – a₁) ；股之中差 = (b₁ – a₁)；

半徑為股之中差 = (a₁ + b₁ – c₁) × (b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) #。

邊股底勾相並即大弦。若以相減即通中差也。

已知天西邊股﹝簡稱邊股，在勾股形天川西 2﹞：b₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

北地底勾﹝簡稱底勾﹞：a₃ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

邊股+ 底勾 = b₂ + a₃ = (c₁ + b₁ – a₁) + (a₁ – b₁ + c₁)

= (c₁ + b₁ – a₁ + a₁ – b₁ + c₁) = c₁。c₁ 是為大弦。

相減 = (c₁ + b₁ – a₁) – (a₁ – b₁ + c₁) = (c₁ + b₁ – a₁ – a₁ + b₁ – c₁)

= b₁ – a₁。b₁ – a₁ 是為“通中差”。

二髙股一虛差合成一個股圓差。二平勾一虛差合成一個勾圓差﹝案：此二條誤當云“二明股一虛股合成一個股圓差，二勾一虛勾合成一個勾圓差也。”﹞

已知天旦股﹝又稱上髙股﹞：b₆ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

二髙股= 2 × ( a₁ +b₁ – c₁) = ( a₁ + b₁ – c₁) 。

“虛差”指太虛勾股較。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)。

二髙股一虛差之和，即：

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)[b₁ + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)[2b₁²+ b₁² – a₁² – c₁b₁ + c₁a₁]

上式不能得一個股圓差。

依“案文”之算法如下：

股指大股﹝在勾股形天地乾 1﹞= b₁。

股圓差即  b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – a₁，即勾股形天地乾 1 之勾弦較。

明股b₁₄ = = (2a₁c₁ – 2a₁² – b₁a₁ – b₁² + b₁c₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

二明股= 2 ×(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛股：b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

二明股一虛股併，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)[(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)]

= (c₁ – a₁) × a₁

= c₁ – a₁﹝股圓差，見前﹞。

所以二明股一虛股併 = 一個股圓差。

二平勾一虛差亦不能合成一個勾圓差，依“案文”之算法如下：

勾圓差即 a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – b₁，即勾股形天地乾 1 之股弦較。

東川勾﹝又稱勾﹞：a₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

二勾 = 2 ×(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

太虛勾：a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

二勾一虛勾併，即：

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)[(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁) × b₁

= c₁ – b₁。

所以二勾一虛勾併 = 一個勾圓差。

本條以“案文”為是。

以下為《測圓海鏡細草》原文：