【原】音律与数学·十二平均律

明朝万历年间，中国出现了一位不世出之音律奇才。朱载堉（1536-1611年），字伯勤，号句曲山人，青年时自号狂生、山阳酒狂仙客。朱载堉为明太祖朱元璋九世孙，智识过人，喜欢音乐、数学。其父郑恭王朱厚烷能书善文，精通音律乐理，故其自幼深受影响。嘉靖二十四年（1545年），年仅十岁之朱载堉就攻读《尚书》等典籍，钻研算术与音律，后成为历史上之著名律学家、历学家、数学家，有“律圣”之称，科学史家李约瑟将其誉为东方之达·芬奇。

朱载堉对音律之最大贡献是其创建了十二平均律，这是音乐学与音乐物理学之一大革命，也是世界科学史上之一大发明。在全世界音律学之发展过程中，如何能够实现乐曲演奏之旋宫转调，历代都有学者孜孜不倦地探索，但是迄朱载堉时为止，无人登上成功之巅峰。

朱载堉在总结前人乐律理论之基础上，通过十分精密之数学计算与实验，成功地发现十二平均律之等比数列规律。在其《律学新说》（1584年）卷一中，概述了十二平均律之计算方法：

创立新法：置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。

即每次除以，以得到下一律。

在之后的《律吕精义·内篇》（1596年）卷一中，朱载堉对十二平均律做了详细描述：

盖十二律黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端。……是故各律皆以黄钟正数十寸乘之，为实，皆应钟倍数十寸零五分九厘四毫六丝三忽零九纤四三五九二五二六四五六一八二五为法，除之，即得其次律也，安有往而不返之理哉。旧法往而不返者，盖由三分损益，算术不精之所致也。是故新法不用三分算损益，别造新率。

其中之“十寸零五分九厘四毫六丝三忽零九纤四三五九二五二六四五六一八二五”，换成今日之写法，即

打算盘能得到如此高之精度，真是令人叹为观止！

朱载堉之成功，在于其勇于舍弃三分损益法而采用新的筹算方法。《律吕精义·内篇》卷一还记载：

新法筹律与方圆，皆用勾股术……度本起于黄钟之长，即度法一尺。命平方一尺为黄钟之律。东西十寸为勾，自乘得百寸为勾幂；南北十寸为股，自乘得百寸为股幂；相并共得二百寸幂。乃置弦幂为实，开平方除之，得弦一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三〇九五〇四八八〇一六八九，为方之斜，即圆之径，亦即蕤宾倍律之率。

其中之一长串数字，表示的正是

用这种方法所确定之各律相应弦长，其音程相等，完全可以满足音乐演奏中旋宫转调之要求。这也正是现代国际音乐中通用之十二平均律。朱载堉一劳永逸地解决了这一问题。

在创建十二律之过程中，朱载堉深受其父朱厚烷之影响。朱厚烷曾对儿子说道（见《律吕精义·序》）：

仲吕顺生黄钟，返本还元；黄钟逆生仲吕，循环无端。实无往而不返之理。笙琴互证，则知三分损益之法非精义也。

朱厚烷坚信旋宫转调能够实现，同时又明确指出传统之三分损益法不可取，这对朱载堉有很大启发。正是在其父之启发下，朱载堉最终完成了十二平均律之发明。他依据正方形内切圆与外接圆之比值，采用勾股定理建立等比数列，推算出（频率关系）：

为解决十二平均律之计算问题，朱载堉讨论了等比数列并找到了计算方法。为了解决繁重之数学运算，他运用珠算进行开方运算，并提出了一套珠算开方口诀，极富创举。他还解决了不同进位小数之换算方法，作了有关计算法则之总结。在没有电子计算机之古代，能够将多次开方之运算精确到小数点后20多位，这是一般人难以想象、难以完成的。在数学史上，这些都是很引人注目之成就。

（又有数学公式，又贴图了。）

这就是五音十二律之现代代数学解释，即音域跨度与对应频率之对数满足线性关系。

关于最大音差问题，中国早在战国时期就利用三分损益法成功地避开了，到了明代，又被朱载堉圆满地解决！这一成就为现代音乐学之形成开辟了重要通道。现代音乐学规定，音符A（对应简谱之低音6）之频率为440Hz，音符B到C之间、E到F之间为半音；A到B之间、F到G之间为1度半；其余为全音。由此可以计算出简谱中从低音1到高音1之间每个音符之频率。不难想象，组成乐曲之每个音符的发音频率及其持续时间是乐曲能够连续演奏的两个基本要素，这就使得钢琴之脚踏得以产生。

在朱载堉完成十二平均律理论后50余年，法国数学家梅森（Pere Marin Mersenne，1588-1648年）在其所著《谐声通论》（1636年）中发表了相似理论，但并未实质性解决该问题。此后，德国作曲家巴赫（J.S.Bach，1685-1750年）于1722年发表《The 48》，中译为《谐和音律曲集》或《十二平均律曲集》，应该是为十二平均律之键盘乐器所著。

1884年，欧洲学者de Hann发表了一篇记载等比律推算之手稿，声称是另一学者S.Stevin(1548-1620年) 之遗稿。该稿所载之等比律推算方法，与欧洲风格大相径庭，却与朱载堉之律如出一辙。根据李约瑟等人之考证，这一成就很可能是西方某些传教士从中国抄袭过去的，因为欧洲人完全掌握十二平均律，是在1711年第一架近代钢琴出现之后。李约瑟《中国科学技术史·卷四·册一》记载：

如此，一个旅行者仅仅只需说：“我知道中国音乐家调谐他们的弦乐器的精确方法。他们只需把第一弦以除之，得第二音之弦长，再除之，得第三音之弦长。继续如此重复，直到第十三音，就得出纯八度。”因此，传播这个重大的观念所需的，不是一本书，仅是一句话就够了……若S.Stevin的推算果真没有受到中国等比律工作的影响，这是件不可思议的事情。

有关音律之起源，当今欧美学者一直不肯承认中国古代之成就。西方人认为，音律知识起源于古巴比伦，然后向东传入了中国，向西传入了古希腊。1978年以前，这种说法被全世界默认。但随着1978年湖北随州曾侯乙墓大型编钟与琴瑟等多种乐器之出土，中国古人对五声、八音、十二律等完整音律体系之掌握被推前到至迟公元前六世纪。由于同时期古巴比伦之音律学大大落后于中国春秋时期，这就使得音律知识起源于古巴比伦之说法成为了天方夜谭。

国际上，特别是欧美学者，对于中国之考古界以及考古成就历来就存在着很大之偏见。上个世纪，英、日等国曾经还十分卑劣地大肆宣传中国人是弱智人种这一言论。这就使得中国古人的很多成就不被其他国家所认同，并引发了旷日持久之争论。但国内很多学者或者太崇洋媚外，或者太斤斤计较于别人之认同，以致总是怀疑起自己的老祖宗来。

很多时候，对于一个有修养的人来说，实在没有必要去计较别人是否认同自己或自己之祖先，甚至有时候，连求同存异也是不必的。若大家不在一个层次上，比较异同那显然是不明智的。苍鹰看见野狼在追捕兔子，它会想，野狼为何不飞扑而下？这样捕猎岂非更容易？须知野狼是飞不起来的，所以它们是不可比较的。子曰“求同存异”，那得假设彼此处于同一层次为先决条件。