【原】压轴题打卡97：动点有关的二次函数与几何综合问题

如图，抛物线经过点A（﹣1，0）和B（0，2√2），对称轴为x=5/4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴交于另一个交点为C，点D在线段AC上，已知AD=AB，若动点P从A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的度数匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线BD垂直平分？若存在，求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的前提下，过点B的直线l与x轴的负半轴交于点M，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形与△PBC相似？如果存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5/4）²+k，（a≠），把点A（﹣1，0）和B（0，2√2）代入，解方程组即可解决问题．

（2）首先求出A、C坐标，由∠DBP=∠DBQ，可得PB/BC=PD/CD（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），即解方程即可解决问题．

（3）存在．理由如下：首先证明∠BPC=∠BAM，分两种情形讨论①当AM/PB=AB/PC，△MAB∽△BPC，列出方程解方程即可．②当AM/PC=AB/PB时，△MAB∽CPB，列出方程解方程即可．

解题反思：

本题考查二次函数综合题、线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．