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二次函数为背景的动点压轴题有什么解题方法?

2018-04-22  山峰云绕

我是位初中数学老师,每年都会关注各省市中考数学压轴题,发现这类压轴题也是有解题规律的,我把我总结的解题方法分享给你,希望对你有帮助。

四步解决二次函数图像为背景的动点压轴题

以函数为背景的动态问题是近年来中考的一个热点问题,动态包括点动、线动和面动三大类,解这类题目要“以静制动”,即把动态问题变为静态问题来解.点动的压轴题相对简单,解决此问题需分四步完成。

第一确步定动点的位置。以二次函数为背景的动态压轴题常考五个类型:(1)动点形成等腰三角形,可以画“一线两圆”来确定动点,(2)动点形成直角三角形,可以根据直角作垂直或画圆来确定动点,(3)动点形成的平行四边形,可以通过平移或旋转来确定动点,(4)动点形成的面积问题,可以直观确定,(5)动点形成的相似三角形,可以根据确定三角形的形状去确定动点。

第二步设动点坐标。动点在函数图像上,可以设动点的横坐标为t或者n,纵坐标是对应的函数表达式。动点在x轴上,设横坐标为未知数;动点在y轴上,设纵坐标为未知数。在设未知数尽量不用x和a。

第三步表示相关线段长。平行坐标轴的线段考虑用坐标相减;不平行坐标轴的线段用勾股定理或相似表示,或者转化为平行坐标的线段。

第四建立方程模型或函数模型。当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时,通常建立函数模型或不等式模型求解;当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时,通常建立方程模型去求解.

对于运动型试题,我们要运动和与变化的眼光观察和研究,抓住等量关系和变量关系。

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教育问答达人
首先确保第一问是正确的
无论你动点问题的理论、技巧、方法掌握多少,第一问都没有做对,做第二问完全没有意义;所以确保第一问正确!
动点问题的出题方向,解题方向
方法:设点,根据题目要设点,点可以透露很多信息,通过点可以表示线段长度,特别是横平竖直的线段长度,点、线、面本身就是这类题目的考察大方向;点到线:在直角坐标系中,要善于利用一次函数和二次函数的方法到动点问题中来,例如直线平行与垂直,直线交点这些都要能迅速求解出来;
1.最值问题:一般以线段长度的最值问题(线段长、线段和差),面积问题等;此类题型一般要掌握最值问题的几类模型(此处不展开),设点方法,线段长的表示方法,面积的表示方法等,掌握这些得分不难;
2.存在性问题:存在性问题比较杂,例如等腰三角形的存在性、全等三角形、相似三角形、平行四边形的存在性问题等,甚至还有角的存在性问题;这类问题一般掌握分类讨论的方法就没事,做题时保持清醒的头脑,不要乱混了;
当然以上只是方向性的问题,若要解决此类问题,还要掌握几何基础知识,至少应用的时候不能出现卡住的现象,例如等腰三角形的性质问题;
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创建于2018.4.20
二次函数作为初中学习的基本初等函数,是中考的热点和难点,尤其是二次函数的动点问题,更是让不少同学头疼,大多数都是只会做第一问或是没时间做后面的问题.
一、数学模型
二次函数:本质上就是函数,既然是函数它必有三要素,定义域、值域、解析式,万变不离其宗,不管他的动点如何变化,最终我们要找出自变量、因变量、并建立二者之间的函数关系模型,然后进行讨论。
二、典型真题剖析
1、面积类
(2016山东东营,25,12分)
在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90º,得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M在何处时,△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标;
(3)若P为抛物线上的一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q构成平行四边形时,求点P的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标.

【逐步提示】(1)由旋转的性质求出A′的坐标,再由待定系数法求出抛物线的解析式.(2)用待定系数法求出直线AA′的解析式,设M的横坐标为x,列出△AMA′的面积关于x的函数,配方求出函数的最大值,即面积的最大值.(3)由于平行四边形的顶点顺序不确定,故分类讨论,可分BQ为边和BQ为对角线两种情况进行讨论,求出点P的坐标.结合B(1,4),Q(1,0)的坐标可得当平行四边形为矩形时的点P的坐标.

【解后反思】1.坐标系或网格中求一般三角形面积的常用方法:
(1)分割法:过三角形的一个顶点作平行于y轴或x轴的直线将三角形分成两个三角形,用分成的两个三角形面积的和或差表示三角形的面积;
(2)补形法:过三角形的三个顶点作平行于x轴、y轴的直线,得到矩形,将三角形的面积表示为矩形的面积减去多个直角三角形的面积;
(3)等积转化法:利用平行线间距离处处相等,将三角形的面积转化为一个与它面积相等且易求的三角形的面积.
2.几何问题中与面积最值有关的问题的解题思路:
(1)分析问题,找到与面积相关的一个变量;
(2)建立面积与另一个变量的二次函数模型;
(3)配方法或利用顶点公式求出自变量的取值及面积的最值.
2、平行四边形类

【逐步提示】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式、图形面积、函数的最大值、平行四边形的知识,解题的关键是掌握二次函数的有关性质及数形结合思想的应用.(1)利用顶点坐标(2,9),将抛物线写成顶点式 ,再把A(0,5)代入求出a,从而求得抛物线的解析式. (2)由于AC平行于x轴,所以C点的纵坐标等于5,代入(1)中抛物线可求得C点的横坐标.因为四边形APCD的面积是由△APC和△ADC的面积和组成,通过设P点的横坐标为m,由于点D在直线AB上,所以可以用m的代数式表示出点D的纵坐标,然后利用水平底,铅垂高可将四边形APCD的面积用含m的式子表示出来,再进行配方,就可求出面积的最大值.(3)过M作MH垂直于对称轴,因为四边形是以AE为边的平行四边形,所以△MNH≌△AEO,得OE=NH,MH=OA.可以求得M点的横坐标,再代入抛物线即可得纵坐标.利用M点的纵坐标可以得到N点的纵坐标.

【解后反思】二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点一般较多,有抛物线与坐标轴的交点坐标求法,几何图形的面积,三角形全等、相似、圆等,还有与一次函数联立解题等,综合性较强,有一定难度.一般在解决有关平行四边形顶点问题时,通常应用平行四边形对边平行且相等,用平移法可找到相邻顶点之间的联系.这样的题型一般用到数形结合、分类讨论及方程思想.
3、探究类
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点.点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【逐步提示】(1)分别把x=0和y=0代入解析式可得A,B的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式.利用勾股定理求出AB、BC、AC的长,再由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形.(2)利用勾股定理构建方程,解方程求出t的值.(3)先求出抛物线的对称轴是x=2.5,设M的坐标为(2.5,m),然后分AM=BM,AB=BM,AB=AM三种情况讨论.

【解后反思】1.存在型问题的探究方法:
(1)直接求解法:就是直接从已知条件入手,逐步试探,求出满足条件的对象;
(2)假设求解法:就是先假设结论存在,再从已知条件、定义、定理出发进行推理,或根据已知条件构建方程,若得到符合条件的结论,则假设成立,否则,假设不成立,结论不存在.
2.待定系数法求二次函数解析式需要熟练掌握三种类型:
①一般式:已知任意三点的坐标,可设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c;
②顶点式:已知顶点(h,k)和另一个点的坐标,可设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k;
③交点式:已知图象与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)和另一个点的坐标,可设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).

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