【原】傅里叶变换的应用Ⅴ——傅里叶变换光学

1 余弦光栅的衍射场

余弦光栅的透过率函数即屏函数的典型表达式为

这个光栅沿方向呈现周期性，空间周期为，，为空间频率。

图1 余弦光栅的夫琅禾费衍射

如图1所示，一束波长为的平行光正入射该余弦光栅。在透镜的后焦面上接受其衍射场。实验上显示出三个鲜明的衍射斑。

平面波正入射，设其入射波前为，则透过余弦光栅后波前变为

上式的变形中使用了欧拉公式。将得到的三项分别记为

不妨取，则

正比于的相移因子实际上表示的是波的方向的改变。和实际上都是平面波，但传播方向和满足

三列衍射波在光栅后形成了复杂的波场，但用透镜就可以将这三束波分离为三个衍射斑。考虑到实际的光栅有着宽度限制，衍射斑也不可能是一个点，而应该有着一定的发散角，在此不再计算。

2 余弦光栅的组合

密接

所谓"密接"指的是两个余弦光栅前后叠在一起，密接后的屏函数为

单个余弦光栅可将一束平面波分为束，则密接的两个余弦光栅可将一束平面波分解为束(可能重叠)。下图给出了两种典型的密接光栅的衍射场，此处不再计算。

图2 密接光栅的衍射斑

复合

所谓"复合"指的是同一个余弦光栅有着多个空间频率，即

此时的处理方法与单个频率时完全相同，依然是通过欧拉公式分解出不同的衍射波。

图3 复合光栅的衍射斑

注意尽管屏函数中余弦函数是相加的，屏函数已不具有余弦的形式，但是衍射斑中依然可以将它们分离开来。

3 夫琅禾费衍射与傅里叶变换

屏函数通常是二维的。如果它具有周期性，则可以进行傅里叶级数展开。

其中展开系数为

而每一个频率成分都可以在后焦面上以衍射斑的形式体现出来，从而分离了不同频率成分，相当于进行了一次二维傅里叶变换。

4 阿贝成像原理

对于光学系统的成像，是有着不同的理解方式的。

传统的几何光学的观点认为，物上的每一点都经光学系统后产生一个像点，所有像点的几何就是所成的像。

这种点与点对应的观点在处理几何光学问题是完全正确，但它抹杀了相干成像与非相干成像的区别。

另一种观点就是阿贝成像原理。这种观点着眼于空间频谱的变换。物实质上是一系列不同的空间频率信息。成像时，光在物面上发生夫琅禾费衍射，通过透镜后在后焦面上形成一系列频谱斑。这些斑作为次波源，发出球面波，并相干叠加于像平面，从而形成了像。

5 小结

傅里叶变换光学导致了光学信息处理技术的兴起，它从经典波动光学出发，产生了如空间滤波、图像加减、图像微分、显色滤波等一系列技术，现已成为光学中的重要部分。有兴趣的读者可以进一步地了解、学习。