【原】循循善诱，从“站队”到“排列”。

计数原理

概率绝对是高中数学的重要内容了。

当然了，要计算好概率，首先要学会计数。

其实初中就有概率了，只是当年的计数，好像总是掰掰手指，就可以搞定的。

比如，从五个同学中选出两位同学，一位担任组长，一位担任副组长。求甲能担任组长的概率。

我们当年就是用掰手指的方法，一个个的数出来的。

还美其名曰“穷举法”。

其实，从五位同学甲、乙、丙、丁、戍中选出两位，就有十种情况：

甲乙、甲丙、甲丁、甲戍

乙丙、乙丁、乙戍

丙丁、丙戍

丁戍

当然，如果还要确定正副班长，再乘以2就行，也就是20种情况。

虽然穷举时，只要按一定的规律去数，就象是上面这样，也不会出现太多的问题。

但这种穷举法，也实在是太low了。

就问你，如果是从50位同学中选出三位同学，甚至还要再排个顺序，你试下，是不是就感觉太麻烦了呢。

所以，这种穷举的计数方法，必须是需要改进的。

这便有了计数原理，也有了最好的计数方法——排列与组合。

所以说，排列组合，其实只是两种计数的方法而已。

其实，所有的排列组合题，都是相似的。

如果非要说区别，也只是问题设置的情境上有所不同而已。

因此，在排列组合的学习中，母题非常重要。

而母题，我一直认为的就是“站队问题”和“分配问题”。

因为想解释的更加认真点，这期的推送只讲站队问题。

也就是排列题。

排列母题——站队问题

PAILIEJINDIAN

站队问题，其实在生活中实在是太常见了。

尤其2020年，我们对站队这件事，觉的更有仪式感。

只是在现实中，不同的人可能会有不同的要求。

而也因为不同的要求，才有了数学里更加丰富多彩的计数方法。

例1.有四名男生和三名女生，排成一列。

      求下列不同条件下排列的个数。

①排成一列，且甲不站在排头；

②排成一列，且甲不站排头，乙不站排尾；

③排成一列，且甲乙两位同学站在一起；

④排成一列，且甲乙两人之间站三人；

⑤排成一列，且女生不能站在一起；

⑥排成一列，且三位女生按从高到低站队；

⑦排成一列后再重新排列，其中仅有两人

   站在原来的位置；

⑧排成两排，前排三人，后排四人；

⑨排成一圈。

解题思路分析

①甲不站在排头。

思考步骤：

思路一：优先考虑甲选位。

先让让甲在除排头的六个位置中任选一个位置，再让其他没有要求的同学随意选位。

思路二：优先考虑排头选人。

先让排头在除甲外的六人中任选一人，再将包含甲在内的六人任意排列。

小结与归纳：在作排列时，经常从元素或位置着手分析。又称：

元素分析法与位置分析法。

②甲不站排头，乙不站排尾。

思考步骤：

思路一：分两种情况考虑。

第一种情况：甲选除排头、排尾后的五个位置中的一个，乙在除排尾和甲已选位置后的五个位置中选一个，其他人再随机选位

第二种情况：甲选择排尾的位置，乙不再有限制条件，则剩余六人随机选位。

思路二：排除法

小结与归纳：从这两种条件下的排列可以看出，在处理排列的过程中，如果有些元素有特殊要求，可以优先考虑它。又称：

特殊元素优先法

③甲乙两位同学站在一起。

思考步骤：

思路一：先让甲乙两人做排列，然后将两人捆在一起当作一人，再与剩下的五人，共按六人进行全排列。

思路二：一排七个位置中，选两个相邻位置，安排甲乙两人就坐，其余五人全排列选位。

小结与归纳：如果在排列时有些元素要求相邻，则可以先将其进行内部排列后作为一个对象，再参与后面的排列。又称：

相邻问题捆绑法

④甲乙两人之间站两人。

思考步骤：

先让甲乙两人做排列，然后从余下五人中任选两人，并做好排列后插入甲乙两人之间，然后将这四人当作一人，与剩下的三人，共算四人做全排列。

小结与归纳：与相邻问题类似，称这类问题为小团体问题，依然首先小团体内部之间按要求进行排列后，然后作为整体当作一个元素再参与后续的排列。又称：

小团体问题捆绑法

⑤女生不能站在一起。

思考步骤：

先将男生四人做成一排，每位男生左右两边各有一空位，则共有五个空位；再从五个空位中任取三个空位，三位女生任意选位站位。

小结与归纳：在排列过程中，如果有元素要求不能相邻，可以先将没有要求的元素进行排列，再将不能相邻的元素插入空中。又称：

不相邻问题插空法

⑥三位女生按从高到低站队。

思考步骤：

思路一：七位同学共站七个位置，先从其中选出四个位置供四位男生随意选择，剩余的三个位置，由三位女生按身高自行选择。

思路二：七位同学共站七个位置，先从其中选出三个，让女生根据身高高低自行选位，再让四个男生站在剩余的四个位。

小结与归纳：定序元素之间只有固定的一种排列，一般按照相同元素处理。对于相同元素参与的排列，要么先将相同元素的位置选好放入，要么优先对其它元素排列，留出相同元素需要的空位即可。又称：

定序问题（或相同元素）留空或选空处理

⑦排成一列后再重新排列，其中仅有两人站在原来的位置。

思考步骤：

先从七人中选择两人站回原位（剩下5人分别记作ABCDE），先A在除先前自己座位之外的四个座位中任选一位，若A选C位，接着让C选位。

分两种情况：

第一种情况：C在CDE三位中任选一位，如C选D位，再D在ABE三位中任选一位后，则BE选位方式惟一。

   

第二种情况：C选A位，再让B在DE两位中任选一位，则DE选位方式惟一。

小结与归纳：乱序问题一般按照前一个元素选择什么位置，这个位置的元素再接着选位。类似接力赛中的传棒行为。又称：

乱序问题接力法

⑧排成两排，前排三人，后排四人。

思考步骤：将七人排成一排，并将前三人当作前排。

小结与归纳：多排的问题，可以先将所有元素排成一排，然后可以按顺序指定前多少个元素为第一排，后多少个元素为第二排，以此类推。又称：

多排问题直排法

⑨排成一圈。

思考步骤：先让七人中任意一人选一个位，其余六人在其后任意选位，并按环形站位即可。

小结与归纳：环排位置的不同，主要取决于某一元素左右的元素是否相同，没有绝对位置的区别。也就是说，环排后整体进行旋转，排列是相同的。又称：

公式法：n人环排共n！种排法

典型例题——先做后看

QINGJINGZHUANHUAN

排列问题的情境千千万万，但所有的问题均可转化为一般的站队问题。

因此，解决这类题型最核心的便是进行情境的转换。

 可以先自行看看下面例题：

①2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 

A. 72   B. 60    C. 36     D. 24

②安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有    

A. 13    B. 18   C. 22     D. 28

③一栋大楼共15层，有3人从第一层进电梯后电梯向顶楼上升，之后电梯在第二层及第二层以上每层楼都停，共停14次，则这三个人从各不相同的楼层出电梯的概率为     

④ 若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有    个。

A. 120    B. 132     C. 144    D. 156

⑤ 将5个字母a，a，b，b，c排成一列，不同的排法种数为

A. 60     B. 48   C. 36   D. 30

⑦一排连椅共6个座位，有三人就坐，若有两个空位连在一起，则不同的坐位方案有    种。

⑧从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取三个互不连续的数，则不同的取法有    种。

⑨一条隧道内某一侧有10盏灯，现要熄灭其中三盏，但为保证照明，不能熄灭第一盏和最后一盏，也不能连续熄灭两盏。则有    种不同的熄灯方案。

⑩有一个楼梯，共有12级台阶，现在一位同学上楼，可以一步走一级，也可以一步走两级。已知该同学一共走了7步，则该同学走完楼梯的方式有    种。

解决方案——情境转换

QINGJINGZHUANHUAN

①2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 

A. 72   B. 60    C. 36     D. 24

分析：

先从三位女生中选出两位女生排列后作为一个元素，然后让两位男生站位产生三个空位，捆绑一起的女生与另一女生插空即可。

不同排法数为：

②安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有    

A. 13    B. 18   C. 22     D. 28

分析：

第一种情形：乙安排周二，则甲只能安排周一或周三，剩下三人随便安排；

第二种情形：甲乙安排周三四或周四五，然后选择除丙外的一人安排周二，剩下随便安排。

不同安排方案共有：

③一栋大楼共15层，有3人从第一层进电梯后电梯向顶楼上升，之后电梯在第二层及第二层以上每层楼都停，共停14次，则这三个人从各不相同的楼层出电梯的概率为     

分析：进入一楼电梯后，每个人出电梯都有14种选择，则：

三人从不同的楼层出电梯，相当于从14个楼层中任选3个楼层的全排列，则

所以，三人从不同的楼层出电梯的概率为：

④ 若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有    个。

A. 120    B. 132     C. 144    D. 156

分析：

先将0、2、4作全排列，分为两种情况：

第一种情况：0在首位

将2、4在0后作排成一列形成4个空位，从1、3、5中任选一个放在最左边空位，再从剩下三个空位中任选两个空位，将剩下两个数字排列放入。则共有方法数：

第二种情况：0不在首位

先从2、4中选一个放在首位，再将另一个数字和0在其后排列，形成四个空位，从四个空位中任选三个空位，将1、3、5排列放入。则共有方法数：

则这样的六位数共有：

⑤ 将5个字母a，a，b，b，c排成一列，不同的排法种数为

A. 60     B. 48   C. 36   D. 30

分析：

五个字母共占五个格，从五个格中任选两个放入字母a，再从剩下的三个格中任选两个放入字母b，最后一个格中放入字母c。

则不同的排法有：

⑦一排连椅共6个座位，有三人就坐，若有两个空位连在一起，则不同的坐位方案有    种。

分析：

先让三个人一人拿一个椅子并进行排列，将两个空椅捆在一起作为一个空椅，并与另一空椅插空，再将椅子连在一起。 

不同坐法有：

⑧从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取三个互不连续的数，则不同的取法有    种。

分析：

将6个完全相同的小球排成一排后产生7个空位，再将3个小球插入其中三个空位，最后按从左至右编号，可得三个互不连续的数字。

不同取法有：

⑨一条隧道内某一侧有10盏灯，现要熄灭其中三盏，但为保证照明，不能熄灭第一盏和最后一盏，也不能连续熄灭两盏。则有    种不同的熄灯方案。

分析：

先随便灭掉三盏灯，剩下的七盏灯之间有6个空位，在这六个空位中任选三个空位，再插入这三盏灯。则不同的方案有：

⑩有一个楼梯，共有12级台阶，现在一位同学上楼，可以一步走一级，也可以一步走两级。已知该同学一共走了7步，则该同学走完楼梯的方式有    种。

分析：

按照要求，该同学上楼过程中有5步走了两级台阶，2步下次了一级台阶。不妨将走两级台阶的步法记为a，走一级台阶的步法记为b，则相当于5个a和2个b共7个元素的全排列。则不同的上楼方式有：

END