矩阵就是方程组的系数吗？线性代数为何难学？

说到矩阵，我们可能会立刻想到线性代数。

线性代数，不仅是大学理工科本科生的必修课，也是工作中十分有用的理论工具。

例如在机器学习、图像处理、机器人导航、自动控制等领域，线性代数都有着十分广泛的应用。理解并学会运用它，是十分划算的。

但是，线性代数并不友好。

对于很多初学者而言，虽然期末考试可以考个八九十分，但在整个学期的学习过程中，往往从第一节课开始，从头到尾，自始至终，心中都充斥着几个字，那就是，

“莫名其妙”。

很多概念，好像都是无中生有地出现在课本上，前不着村后不着店，让人感觉非常虚无缥缈。虽然我们憋屈地通过死记硬背，解决了作业和考试的问题，但实际上，对于知识本身来说，我们往往跟没学差不多，考后一个月内，立即忘得一干二净。

那么，问题究竟出在哪？为什么线性代数如此难以理解？

好，为了理清思路，我们先来研究一个问题。

在研究这个问题之前，我们先来介绍一下，

什么是矩阵。

比如，

这就是一个两行三列的矩阵，记作2×3的矩阵。

当然，也有三行两列的矩阵，比如：

这里，矩阵中的元素都是实数，因此称为实矩阵。当然，也可以填入复数，那就是复矩阵。

为了方便，我们往往将一个矩阵用大写字母来表示，比如：

这就是教科书上的矩阵了。

那么现在，我有一个很自然的疑问，就是，

矩阵它为什么是这样方的？为啥是矩形的？

有人说，老王，你是不是来捣乱的？这有啥可研究的？

矩阵为啥是方的，那当然是因为数学界把它定义成方的啊！

所谓定义，就是“规定”，

你可以这样定义，也可以那样定义。

比如，

3×5，

表示五个三相加。

这个“叉”的含义，就是定义出来的，你完全可以把3×5定义成5个3相减。但是，这种定义方式就不是数学界所使用的了。

好，既然这个矩阵，它是被定义成方形的，那么，请问，

为什么不定义成别的形状？

比如，三角形：

有人说，因为矩形好看。

我认为三角形也挺好看啊。

有人说老王你不要纠缠这种问题好不好，你到底是来干什么的？

事实上，不是我无聊啊，而是，我翻开书，大脑中第一个问题就是这个问题！

你说，矩阵定义成这个东西，那么，你这本书起码要给点说法不是？

否则，当然会让人产生莫名其妙，无中生有的空虚感。

好，有人说，我想起来了。

之所以矩阵被定义成矩形，是因为，矩阵是用来表示方程组的，

一个方程组就对应一个矩阵，而一个矩阵就对应一个方程组。

比如，

这是一个二元一次方程组，而在消元的过程中，x和y实际上并没有发生任何变化，因此我们可以直接将x和y的系数拿出来，组成一个“数组”，即：

增广矩阵

这，叫作方程组的“增广矩阵”。

所以，很多人就认为，

一个矩阵就对应一个线性方程组，而且，矩阵就是方程组的系数。

有这种理解是很正常的，因为几乎所有教科书第一章第二章都在折腾方程组嘛，所以，很多人在学习矩阵的时候，就是用这条思路学下去的。

但是，如果你一旦陷入这套原理，那么你会发现，整个学习过程，都将是十分难受，十分便秘的，很多概念完全无法理解。

我随便举几个例子。

比如，

相似矩阵。

说，有两个矩阵，A和B，如果你找得到另外一个矩阵P，使得这仨哥们满足：

那么，我们就说，A和B相似。

（P-1指的是P的逆，反正也是个矩阵，这个以后再说）

注意，这个相似的英文就是similar，就是长得像的意思。

好，如果我们陷入矩阵就是方程组的思维，那么，矩阵相似，应该是两个方程组相似了？

方程哪有相似的说法呢？？？

真是一头雾水，莫名其妙。

又比如，还有一套著名的概念：

矩阵的特征值和特征向量。

也就是说，矩阵它有特征，而且有几个数字，可以代表矩阵的特征。

难道方程组还有特征？

是不是又觉得很莫名其妙。

这样的例子简直是多如牛毛，不胜枚举。

那问题到底出在哪？

实际上，这个问题，跟我们教科书有一定的关系；跟我们的课堂，也有一定的关系。

我不知道是不是很多老师觉得我刚才问的那几个问题太简单了，不屑于在课堂上讲。但实际上，我觉得，解答这些问题是非常重要的。

就是，

我们一定要在一开始，让大家觉得，这些东西是很自然的，而不是需要死记硬背的。

那么，为什么矩阵有这么多相关概念，却又难得理解呢？

是因为我们理解的方法错了。

首先，

矩阵就不一定表示方程组的系数。

而是，

矩阵只是一堆数字的阵列，仅此而已。

矩阵的定义，无需引入方程组。你让矩阵的这些数字代表什么，它就可以代表什么。

比如，我统计每天上午和下午的工作时间，连续统计了三天，分别是，

上午1小时，下午4小时；

上午2小时，下午5小时；

上午3小时，下午6小时；

那么，我们可以将这些数据，表达成一个矩阵，

然后我可以对这些数据进行各种计算和处理，比如，我需要计算平均值，或最大值，等等。

也就是说，

矩阵它没有必要是方程组的系数，其定义与方程组无关。

那么，有人说，

为什么人们又可以用矩阵的方式，去表示方程组呢？

这就是问题的要害。

事实上，所有的问题，根本在于，我们很多人在学习的过程当中，

把矩阵的历史发展顺序，与矩阵理论的逻辑顺序，搞混了。

而且更要命的是，这两个顺序，正好是个反的。

什么意思呢？

首先，历史上，矩阵这个东西是怎么发展出来的？

我们刚才已经讲了，就是人们在研究方程组的时候，把它的系数，提取出来，解方程。用系数的阵列来解方程，最早在公元1世纪的《九章算术》中就有了。

然后，我们就来研究这堆矩形的数字的阵列，发现，其实可以单独搞成一门学问，于是就给它起了个名字，叫“矩阵（matrix）”。

Matrix这个词是1850年才出现的。

因此，矩阵的历史发展顺序是，

先有方程组，然后，为了解方程，而搞出了一个系数矩阵，然后推广，成了一门学问。

而现代线性代数理论的逻辑顺序是什么呢？

是，

我们先脱离了方程组，来直接定义了什么是矩阵。

什么是矩阵呢，矩阵就是一堆数字的阵列：

这个A，就是一个矩阵。除此之外，再无其它的意思，和方程组没半毛钱的关系。

那么有人说，既然这样，那么这矩阵在理论上，怎么又跟方程组扯上关系了呢？

那是因为，

我们后来又定义了矩阵的计算方法。

矩阵，

它可以做加法。

矩阵和矩阵，可以做乘法。

矩阵和数字，可以做乘法。

矩阵它还有逆运算，就是我们刚才说的那个P逆。

矩阵还有转置运算。

矩阵它还可以平方，它可以进行幂运算。

等等。

但是注意，定义这么多运算，也不需要引入方程组这玩意，而只需要在矩阵的定义基础上，再定义矩阵的运算法则。（关于矩阵的计算，专栏有详细介绍）

然后，对于一个方程组，

我们可以利用该方程组的系数，创造出三个矩阵：

然后，利用矩阵的乘法法则，将该方程组表示为：

这样，矩阵和方程组在教科书中就扯上关系了。

但是，我们一定要非常明白，在线性代数课本中，

矩阵的定义无需方程组的参与。

这就是为什么，很多人无法理解线性代数的原因。因为很多人，包括我刚上课时，总是在想，这相似矩阵和方程组到底有啥关系呢？

实际上，相似是另一套理论体系中的东西，铺垫相当多，不是一两句话可以说清的。关于这个，我们在专栏的视频中详细介绍。

可见，我们不理解很多东西的原因，并不是我们的智商问题，而是一些稀烂的教科书，让我们一开始就掉进坑里，再也爬不出来，直至怀疑人生。