Joseph Malkevitc/著 施昊/译数学和水晶球
水晶球（维基百科） 这个专栏谨献给2016年的《数学认知月》的主题“预测未来”。更多与以前主题相关的信息请访问《数学认知月》的网站。 在这个世界上，对于那些想过上“无忧无虑”生活的人来说，很少有地方不会遭受“外界”危险的侵袭。像这样，在美国，一些地区容易遭受龙卷风，大雪侵袭，其他地方有海岸洪灾，飓风风灾，河水泛滥成灾和地震。在这些由于“大自然的行为”导致大量人民丧生，财产损失的地区，如果能够作出（灾难）预测使得没有人员伤亡，财产损失降到最小，那将是太好了。帮助解决各种各样自然灾害的数学模型已经被开发出来了。在其他预测中，我们所依赖最常见的（预测）就是是由国家气象局提供的越来越准确的为期一周的天气报告。这些预测是基于使用来自卫星和陆基监测和传感器系统的数据给出的。预测还依赖于以偏微分方程理论和求解这些方程的数值方法为基础建立的大气模型。计算能力和理论突飞猛进使的这些报告更加可靠。 有一个有趣的例子关于避免“大自然行为”的危害发生在2009年的意大利。一群意大利的地理学家和一个政府官员因涉嫌没有能够就2009年意大利拉奎拉发生造成309人的地震给出正确的警告而受到了审判。世界各地的地质学家忧心忡忡。尽管在试图预测方面的（技术）取得了很大的进步，但是预测的仅仅是有概率（发生）而不是确定（发生）。经过审判，有七人被判犯有过失杀人罪，并被判入狱六年。让全世界科学家长舒一口气的是，在2014年，上诉法院释放了一群地质学家，减缓了政府官员给出的宣判。但是那些拉奎拉地震的死者的亲属在法庭上谴责政府为自己脱罪。 当一个大的风暴来临时，天气预测人员如果没能够发出足够强烈潜在危险的警告，他们应该受到责备吗？有时候因为预测，可能被大风暴破坏的运输系统被抢先关闭，给许多人造成了巨大的后勤和经济困难。如果风暴没有如期而至，这样的事情时有发生，那么对于许多人来说略有失落的。但是另一个方面来说，当人们可能获救的时候，（政府和地理学家）没有给出足够反馈是意大利地震预测中的问题。与天气预报相比，地震的预测往往很难提前很多。 一些感染病（例如流感）会四处传播，这样类似事情每年都会出现（有时候以一个多年周期出现）。对于小孩来说，生了类似于百日咳或者寻麻疹可能会导致死亡。对于老人来说，他们小时候接种的一些疫苗不知道还是否有效。然后有一种流感，会严重影响老人的身体健康。鉴于对小孩来说得了流感有害（健康），对于老人来说得了流感会引起肺炎或者其他影响身体健康的疾病，所以父母们应该给他们的孩子们接种疫苗吗？老人们应该接种流感疫苗吗？虽然一些人接种疫苗会有过敏反应，但是从长期的疫苗接种史来看，疫苗极大的延长了人们的寿命和改善了生活的质量。 风险行为最近，美国动力球彩票推出了一个难以置信的价值16亿美元的彩票大奖。人们感兴趣于彩票和赌场赌博的数学的一个重大原因是只要有很多的消费者，这些“产业”就会蓬勃发展。如果一个人拥有一个能帮助他选择正确彩票的水晶球，他会获得大量的收入。 无论是一个人或者是作为一个团队的一部分，思考未来时，人们总是对未来抱有一个期望。有时候是美好的期望，有时候的期望又显得不那么吸引人。对于理解未来能带给我们什么，数学的一个贡献就在于（让我们有）期望值的概念。在数学家们使用这个名词的时候，他们对自己所说的话有一个极其精确的定义，但这个定义非常复杂。人们对未来感到紧张的一个原因是他们不确定将来会发生什么。未来似乎涉及机会，随机性，随机性和概率。为了理解期望值的含义，我们首先要谈一下概率论。 我们经常会听到像下面一样关于未来的一些表达：
这种陈述是什么意思呢？要回答这个问题，我们不得不回到数学的两大支柱——基础数学和应用数学。基础数学建立了基于定义和公理（规则系统）的思想和概念系统，然后从这些结构中推导出数学事实，定理。应用数学采用这些数学系统并试图用它们来洞察世界。我将尝试以相对非正式的方式进行（探讨概率），试图避免“繁琐”数学符号和“正式”定义。 首先，概率可以被用在有限结果的定义域上，也可以被用在无穷的结果的定义域上。为了能够帮助建立直觉（理解这句话），我将用不同的例子将这个想法讲清楚。如果苏珊女士想要一对双胞胎，她的孩子出生顺序一共有四种可能。一个男孩和一个男孩，一个女孩一个男孩，一个女孩一个男孩和一个男孩一个女孩。有人可能会提出疑问，同时出生也是一种可能性。但是我们将只考虑我们提到的四种可能顺序。在不同的例子下，我们可能会捕到一条正在去美国西部某条河流的产卵场的鲑鱼，并对这条鲑鱼进行称重。现在称重可能的结果是在鲑鱼能够达到的一个重量范围内的实数。鲑鱼的重量是无数种可能结果中的一个。从数学的角度来看，我们可以通过想象一个由这些从某个“实验”或者实际“观察”的结果组成集合M来模拟刻画这些可能性。集合可以是有限的，也可以是无穷的。对于有限结果集合中的每一个结果，我们将会分配一个叫作结果的概率的实数给它，记作。这些实数不能以完全任意的方式分配——它们最遵循某些属性或公理：
注意，如果出现的概率是那么互补事件的概率，将不发生的概率是。如果硬币可以是正面或反面，反面的概率是2/5，那么正面的概率是3/5。请注意，因为我们只有有限的结果，所以我们做计算不需要任何和极限（微积分）的思路。 对于有无穷结果的集合，我们要求上文列出来的两个条件依旧成立。如果在中存在最小的数，对于所有的结果而言，他们的概率和就不能够为1了。因为无论多么小的有限数，相加无限次，总会有一个大于1的和。因此处理无穷集合上的概率有其他的精妙之法。但是，值得注意的是，我们能够找到一个无穷集合，在这个无穷集合上每个单独事件的结果的概率可以是非零的。这个是可以的因为存在无穷的正数数列，数列总和是1。当我们在使用数学时，我们必须将数学概念从一个混沌的、未有定义的术语与公理的世界中抽离，并阐释它们的意义。 如果给出一个数据集，比如说30天内你的体重（可能都是在每天早上的同一时间测量的）。人们往往会观察这些数字的波动—它们（数字）可能会不一样了。如果你想要了解这些数字的“规律”。一个方法就是去计算一些典型值，如“平均”值。平均值是一个非常具有吸引力数。平均值通常是把所有的数值加起来除以试验的次数而得的。 使用单个数字来代表一个数字集问题在于，不同种的数字集往往会有相同的单个数字作为它们的代表。像这样，5，5，5，5，5，5的平均值是5，然而 -3，-3，-3，13，13，13的平均值也是5。在科学和统计学中使用数字的早期发展之一是认识到，多次“独立”地测量同一数字，可能比一次只测量一个数字更可靠。由于测量装置和“人为”过程，无论如何，测量都不可避免的产生一些误差。但是人们可以使测量尽可能可靠。 与随机值的均值相似的是一个叫期望值的量。假设在游戏中有3/10的机会赢3美元，7/10的机会赢4美元。通过将结果与结果的概率进行加权，你可以“平均”地看到将会赢得多少钱如果你玩这样的游戏。因此在上述情形下，期望值是你3/10的时间中你会得到3美元，7/10的时间中你会得到4美元，因此 期望值= 3(3/10)+ 4(7/10)= (9/10)+ (28/10)= 37/10 = 3.70。 如果你需要支付3.75美元才能玩这个游戏。那么平均你每玩一次这个游戏，你就会损失5分钱。在你赢了3美元的时候，你就损失了75美分，你赢了4美元的时候你就会赚取25美分。但是因为你赢的和输的（钱）不一样，结果的概率不一样，你平均会损失5美分。注意，3.70不是游戏的结果，也不是概率。 有时候实施“实验”的方式会影响事件发生的概率。 考虑一下这两种不同的方案:一个盒子装有两个黑球和两个白球
毫无疑问，你拿到两个黑球的概率取决于你才用了哪一种方案。在方案B中如果你第一个抽出来的球是白色的，你将不可能取得一对黑球。 对于方案A，你能只有第一个抽到的球是黑和第二个抽到球也是黑球你才能抽到两个黑球。因此抽到BB(B代表你抽到了黑球)的概率可以通过计算P(BB)，等于(1/2)(1/2)=1/4。在方案B中计算抽到两个黑球的概率，我们需要这样分析情况： 第一个抽到的球是黑色，第二球也是黑色因此第一个球是黑色的可能性是2/4=1/2。现在既然还剩下3个球，两个白球，一个黑球，因此第二球被抽到的可能性是1/3。 考虑到这一点，我们可以看到两个黑色球被抽出的概率是(1/2)(1/3)= 1/6。 这个简单的问题与概率论中最基础但是很精妙的问题有，就是条件概率。这个概念这个概念可以追溯到研究可能性的最早时期。用现代符号，我们用表示在发生的情况下发生的概率。举个例子，当我们从盒子中取出两个球，给定第一个球是白色的，那么第二个球是黑色的概率就是2/3。我们也可以把看成是 = P(第一个球是黑的，第二个球是黑的)/(P(第二个球是黑的)=(1/3)/(1/2)=2/3. 如何定义或考虑的值?换句话说，我们求的是如果发生了后发生的概率，是和发生的概率除以发生的概率注意，在这个计算中，是作为分母的。对于计算，我们计算和发生的概率（和和发生的概率一样），但是我们除以的是.我们是找“发生的部分”对“和发生的”影响。 很多人会混淆两个条件概率和，它们通常不一样。像这样，如果事件A是一个药物测试是阳性，事件B是病人有这种病。那么患上这种病的病人做药物测试是阳性的概率和做药物测试是阳性的人得这种病的概率是完全不同的。 医学检测可能非常准确，但当一种疾病相对罕见时，仅仅因为检测结果是阳性，这并不意味着几乎可以肯定一个人患有这种疾病。一个数值例子将有助于揭示相关问题。 假设一种疾病(D)非常罕见，一般人群发病率0.005，1000个人中有5个人患这种病。假设疾病D的诊断测试，可能是血液测试，当人真患有疾病D时，返回一个患有疾病D指示的概率是0.99。但是不好的是，当人没有患疾病D时候，检测也可能会出现阳性结果（即患病），概率为0.05，相对较低。注意0.99和0.05加起来不等于1，因为这两个不是互补事件。这里面给出了三个不同的数字，我们将用这些数字通过一些概率的“法则”推导产生其他一些数字。让我引入一些符号来试图弄清楚正在发生的事。在这种情况下，符号既有好处也是坏处。这些符号能让人概念更清楚，因为有很多相似的概念，但这些概念围绕着不同的思维方式展开。从而，我们需要使用很多符号来（严谨地）标出这些概念中的不同。 令表示检测结果为阳性的事件，无论该疾病是否存在，表示某个人患病的概率，一个人在患病时检测为阳性的概率一个人即使没有患病也能检测出阳性的概率。根据以上信息，我们可以写下这三种不同概率的值: 当检测结果为为阳性时，患者感兴趣的是他/她患病的几率，但请注意，这不是上面给出的数字之一!然而，概率的结果允许我们推断出这个数字。 除了其他的概率工具之外，我们还将利用一个被称为贝叶斯定理或贝叶斯公式的“事实”，这个结果是由托马斯·贝叶斯(1702-1761)提出的，但在他有生之年没有发表。在近代，贝叶斯因使用贝叶斯推理和贝叶斯统计术语而在统计学上享有盛名。 托马斯·贝叶斯的肖像 贝叶斯的得出的结果在下面“霓虹”灯详细说明 贝叶斯定理（图片来自维基百科） 尽管我们可能只知道(和其他信息)，这个结果允许我们计算与问题相关的其他条件概率 回到上面的诊断情况，让我们看看我们能推断出什么。首先使用补事件的概念以及事件和补事件的概率只和为1，我们有
现在，让我们开始去得到一些我们感兴趣的概率，从无论是否患上疾病得到阳性反馈的概率和无论患病与否得到阴性反馈的概率开始。 得到阳性反馈的概率有两种方式，一种是患病得到阳性检测见过，另外一种是不患病得到阳性检测结果。我们可以用符号来表示：现在（这里我们把一个人患病但是没有检测阳性的概率和没患病也没有检测出阳性的概率想加）。 注意作为检查我们计算正确，0.0547+0.9453应该加起来等于1，他们确实想加等于1！可能这些数字看起有点让人吃惊—得到阳性检测结果的概率相当的小，但是恰恰反应了很少人患这种疾病。 但是，到目前为止，我们还没有得到我们真正感兴趣的数字，就是如果一个人检测成阳性，那么他患病的可能性是多少？如果一个人被检测成阳性会很害怕吗？这就是我们需要用到贝叶斯结果的地方。 因此，只有一小部分测试呈阳性的人实际上患有这种疾病，即使测试以很高的概率检测到这种疾病。这是真的，因为这种病很罕见。通常情况下，一个人会做另一个独立的测试，看看这种疾病是否真的存在，以避免不必要的治疗。 贝叶斯的结果可以用来得到另外三个条件概率，其中两个也可以通过使用互补事件和事件的概率和1这个事实得到。 最后这个数字可以用贝叶斯的结果来计算，如下所示: 是的，在这计算和符号像海洋一样很多，但是这些可以帮助一个病人和他/她的医生正确的看待一种罕见病的检测中得到阳性结果意味着什么。 概率论和统计学中的巨匠如果事后反思，一个人就可以知道当自己身处成为“现在”的未来时——也就是“现在”已成为他的“过去”时——将会发生什么事情。下面将要呈现的是作为一门数学学科的概率论如何演变的一个简化的探究过程。它向我们展示了与概率论相关的数学研究既不局限靠某个国家，也不限于靠在数学其他领域闻名的数学家。同样，在尝试了解研究可能性和概率概念的一开始，就有两种不同的想法。一种与如何决定某件事情（发生）的可能性相关的想法是基于一些知识和证据的（如某一场飓风袭击纽约）和系统一些与“可能性”相关的行为，比如像抛硬币，扔骰子。从一个角度来看，运用物理学的自旋理论来看，人们如果知道所有的信息，那么在跑硬币，掷骰子中，每一次的结果我们都将会知道。但是在实际中，这是不可能的事情。但是，这些作为概率论的主要研究对象过程都是有规律可循的。如果抛一对均匀的骰子，会有多大可能你将会看到两个点数之后等于四呢？尽管几乎可以肯定的是，在更早时候，那些具有数学天赋的人想到了“可能性”，杰罗拉多·卡拉达诺（1501-1576）（在概率）做出来贡献。卡拉达诺研究了一些在今天开来是组合数学中计数部分的一些的问题。他研究了当三个不同的骰子被抛弃时候，（骰子）的结果中的规律。他想要数出出现8或者9点的方式个数。但是从现代的观点来看，卡拉达诺不是第一个也不是最后一个出现“错误”的人。像这样，当我们抛一个均匀的硬币两次的时候，我们可以用于i 个序列写出HH,HT,TH 和TT的结果。H表示正面，T表示反面。在这里HT和TH各自表示第一次是正面，第二次是反面和第一次是正面。如果我们数正面朝上的次数，答案是0，1或者2次。但是从今天来看，说这三个结果（0，1，2）等可能性也就是P(0个正面)=P(1个正面)=P(2个正面)=1/3很奇怪。我们现在会说在抛两次硬币中1个正面朝上的概率是1/2，两次正面朝上或者两次背面朝上的概率是1/4.但是这个似乎很简单的错误在早期的概率论和组合数学中倒是很常见。反思之后，事情就会变得明了。用数学基础研究可能性的“现代”起源要追溯到布莱士.帕斯卡（1623-1662）和皮耶德.费马（1601-1665）的工作。在1654年帕斯卡和费马就解决一个赌博游戏的可能性问题达成了合作（进行通信）。 布莱尔·帕斯卡的肖像 有趣的是，帕斯卡既提出了一种公平的方法来分配赌博的赌注，这种赌注被打断了，而且不能(在他与费马的通信中)得出结论，也“打赌”了上帝的存在。尽管现代决策论可能被用来决定是否在特定的水下层地点进行石油钻探，而帕斯卡则用了一个令人惊讶的“现代”分析来解释为什么会有人相信上帝。（帕斯卡在）这里的讨论遵循了他在他著名的哲学专著《思想录》中提出的观点。上帝要么存在，要么不存在。每个人都必须决定他/她在这个问题上的立场，人们不可以“不做决定”。理性不能够回答上帝是否存在这个问题。据推测上帝存在的概率是有限的。人们可以从你决定拥护的立场来审视这些结果。帕斯卡表明人们应该像上帝那样生活和去寻找。如果上帝存在，那么我得到收获是“无穷的”，如果上帝不存在，对我们的信仰来说损失相对较少。一些人觉得帕斯卡的观点很有说服力，其他人则不觉得。 斯蒂安·惠更斯（1629-1695）的肖像 第一本关于概率论的“书”似乎是克里斯蒂安·惠更斯写的。在当时，那本书是用拉丁文出版的。《论赌博中的机会》是作为凡司顿的数学著作《Exercitationum Mathematicarum Libri Quinque》“附录”在1657年问世。因此除了在一小群不过日渐壮大的知识分子中，这些知识分子当时发展现代科学和数学的思想和工具，这本书的影响有限。在这项工作不久之后，和可能性和统计相关的观点引起了J.格朗特（1620-1674）的注意。他收集了一些关于疾病的数据，这些数据可以用来保护自己不受未来（疾病）可能带来的影响，尤其是传染病的影响。格兰特的工作在今天可能会被说成是与人口学有关的领域。他构建了一张表格，这个表格的现代运用就是保险公司用来设定寿险保费的“人寿表”。60岁的人在指定的时间段内死亡的可能性比30岁的人更大，因此在设定人们应该支付购买人寿保险单的价格时，人们会使用人寿表。随着时间的推移，人们已经意识到，并非所有人在特定时间都能过相同的时间。像这样，假设到了一个给定的年纪，女性有可能获得更久。此外，吸烟者平均活得没有不吸烟者久。在18世纪，有许多重要的发展出现。贾科布.伯努利在《猜想的艺术》中讨论了今天被称为“大数定律”的想法。如果取一个“独立”生成的测量的样本，那么随着测量的次数增加，这些测量的平均值就会变得更加“稳定”。像这样，如果一个人在一个“公平”骰子中进行一系列的投掷，其中点数是1、2、3、4、5或6，那么随着越来越多的投掷，点数的平均值越来越接近7/2(即(1+2+3+4+5+6)/6)。伯努利因伯努利实验而留名至今。伯努利实验是一种特殊的概率模型(二项分布)，实验中只有两种结果，比如抛硬币(正或反的结果)，或者观察大量老鼠的性别(雄性或雌性的结果)。亚伯拉罕·德·莫弗在此期间不仅研究了被称为年金的金融工具还使用了今天所谓的'正态分布'来近似二项分布。皮埃尔·德·西蒙·拉普拉斯(Pierre de Simon Laplace, 1749-1827)在概率方面做了一些工作，对以前发生的成果进行了“总结”和扩展。拉普拉斯不仅对概率做出了重要贡献，而且几乎对数学的所有部分都做出了贡献。他早期的贡献是在1774年出版的《回忆录》，这本书有时被称为“逆概率”，书中他提出了与贝叶斯相同的观点。他对概率的贡献发表在他的《论事件原因的概率回忆录》(1774)中。拉普拉斯在他的一些著作中强调了今天所谓的“等概率”模型，即尽管某些事件的概率是未知的，但它们被认为是等概率的。通常，这并不总是合理的，因为尽管一个人可能不知道可能发生的事情的概率，但他可以肯定的是有些事情比其他事情更有可能发生。 西蒙·拉普拉斯的肖像 其他一些在19世纪对概率和统计有所贡献的人。这些人包括高斯(1777-1855)和阿德里安-玛丽·勒让德(1752-1833)(他是利用最小二乘技术将曲线拟合到一组观测数据中，并试图将这些观测数据外推到未来的先驱)。然而，随着时间的推移，人们越来越清楚地认识到，作为一门数学学科，概率论必须建立在一个更“公理化”的基础上。由于没有明确的定义和精确的框架来证明结果，人们对概率论的基础产生了一些担忧。俄罗斯/苏联数学家安德烈·科尔莫戈洛夫(Andrey Kolmogorov, 1903-1987年)就是一个敢于接受这一挑战的人。Kolmogorov对数学的贡献非常广泛，包括他在同调和上同调上的工作。 安德烈·科尔莫戈洛夫的照片 随着19世纪末和之后科学和数学的飞速发展，不仅在科学领域，而且在其他领域都尝试着运用概率和统计的数学思想。虽然概率和统计逐渐有一个完善的理论基础和一些基本的结果证明在现代严格的标注下合理，但是关于基于概率和统计被用来更可靠洞察世界的方法的争论爆发了。如同之前提到的，当人们谈论药物A比药物B效果更好的概率，和灾难再次在切尔诺贝利(1986),三里岛(1979),或福岛(2011)的概率，这两者之间是不同的。一些争论就是与这些不同相关的。某些类型的实验可以重复进行，结果可以制成表格，但其他事件没有这种特性。在过去的125年里，有许多受过数学训练的学者开发了“统计”工具来从数据中推断。下面是一组照片和一些关于统计检验贡献者的简短评论。 卡尔·皮尔森(1857-1936)帮助奠定了统计检验的现代理论。他研究了统计假设检验理论的实施过程(包括卡方检验的使用)，并就如何系统地面对不同的选择做出决策提供了论据。 卡尔·皮尔森的照片 杰吉.内曼(1894-1981)生于波兰，但大部分职业生涯都在美国度过。在美国期间，他在加州大学伯克利分校(University of California, Berkeley)任教，指导39名博士生。因为他在假设检验方法方面的工作，他的名字经常和卡尔皮尔逊的名字联系在一起，他帮助推进置信区间(1937)作为进行统计研究过程的一部分的使用。 杰吉.内曼的照片 另一位试图用统计学方法来深入了解遗传学(进化)和其他学科的先驱是尤尔(1871-1951)。尤尔写了一些关于时间序列的有影响力的论文，在这些论文中，人们试图从等间隔时间间隔的测量数据中理解数据。尤尔和皮尔逊经常对统计问题的处理方法和解释意见不一。尤尔在剑桥大学教统计学20年。 尤尔的照片 统计学方法的另一位重要先驱是罗纳德·艾尔默·费舍尔(Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962)，他鼓励使用数学模型来研究遗传学和进化。1935年，他写了一本书叫《实验设计》在书中他讨论了今天所谓的块设计和平衡不完全块设计在农业工作和其他人们希望最小化影响研究结果的机会变异环境中的使用。因此，可以通过种植不同品种的植物来“校正”田间不同部位的肥力变化，并采用块状设计进行产量试验研究。Fisher结合了各种统计检验来谈论p值的使用，但几乎可以肯定的是，这种无意识的方法声称得到了“显著”的结果会让人震惊，因为在一部分很差设计中，通过计算却得到很小的p值。
罗纳德·艾尔默·费舍尔的照片 和一群为了从数据中提取数据正在发展统计检验流程的学者一样，另一群更倾向于数学的人正在尝试着寻找出能够在许多不同并且为事件分配概率是有价值的环境中使用概率论的基础。这些人有很多国家背景，职业也各不相同。粗略地说，这些人在一个所谓“主观下”思考概率而不是“频率主义者”的观点。同样，在某些情况下，当某些“实验”的重复次数增加时，直觉地将概率视为相对频率的“稳定”值是有道理的。在其他情况下，这种逼近概率的方法是不可接受的。因此也有一群相信概率就是“信仰程度”的概率学家。但是不是所有采用这种观点的人完全同意概率或者说是信仰程度的（是信仰程度的）意义。 富兰克·拉姆齐(1903-1930)以组合学的Ramsey定理而闻名，但他也写了一系列关于概率论和效用论的重要论文(1926)。在这项工作中，他用了概率的观点，并在不确定的情况下做出决定，这些现在通常被描述为“贝叶斯方法”。拉姆齐给他的事业（研究）带来的非凡的创造力，但是他在如此年轻的时候就去世了，这是非常悲惨的。
富兰克·拉姆齐的照片 布鲁诺·德·菲内蒂(1906-1985)也提出了“主观”的、基于信仰程度的概率概念。德·菲内蒂 出生于奥地利，但他的大部分职业生涯都是在意大利度过的。
布鲁诺·德·菲内蒂的照片 可能最有影响力的强调概率的主观方法的人是莱纳德·吉米·萨维奇(1917-1971)，尽管他出生时的姓是莱纳德·奥加什维茨。萨维奇写了大量关于统计学基础的文章，并在博弈论和决策制定中应用了他关于使用主观概率的观点。萨维奇提出了使用关于做决策时候的后悔程度最小的想法。为了量化玩家在游戏中的不同行为，一般我们都会用玩家的收益去量化。但是这个想法量化却是用了（玩家的）遗憾。如果一个人在自然特定的状态下，选择了其他的行为而不是可获得的最优行为，那么接下来发生的将会大有差异。对于自然状态N，如果一个行为A取值为-3。那么对于同样的状态N，有一个不同的行为可以取值为5。那么选择行为A的遗憾值为8。对于人后自然状态，最后的行为的遗憾值是0。在将统计学和博弈论链接的工作中，萨维奇和包括米尔顿.弗里德曼等许多经济学家一起合作。
莱纳德·吉米·萨维奇的照片 最近，在心理学，药物研究以及其他统计能被运用增加我们的见解的领域，关于使用“公式化”的方式去做假设检验的担忧接踵而至。一些人认为，p值的使用是一种无意识的方式，并不总是产生其他研究人员可以复制的结果。两个定期处理这个问题的微博由统计学家安德鲁·格尔曼(Andrew Gelman)(统计建模、因果推理和社会科学)和哲学家黛博拉·梅奥(Deborah Mayo，误差统计哲学)维护。 最重要的是，有一个可靠的水晶球来了解现在的世界和将来的世界将是一件妙不可言的事。可数学家、统计学家和其他学者正在努力为我们带来更美好的未来。 参考文献
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