中考数学压轴题分析：两定两动型平行四边形存在性问题2

前面有一篇文章介绍了“两定两动”型的平行四边形存在性问题。本文继续来看一道广西的另一种“两定两动”型存在性问题。两者的区别有类似的地方，也有区别的地方。区别在于一个动点在对称轴上，一个动点在x轴上。下面来研究下。

【中考真题】

（2020·广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知，，连接，点是抛物线上的一个动点，点是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当的面积为8时，求点的坐标．
（3）若点在直线的下方，当点到直线的距离最大时，在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）求解析式，直接代入点B、C的坐标即可；
题（2）先求出AB的长度，然后根据面积为8，得出高。令点P的纵坐标的绝对值为高代入即可；
题（3）又是一种“两定两动”型的平行四边形存在性问题。其中一个动点在抛物线上，另一个在对称轴上面。也是分为PC为边或为对角线两种情况讨论。

①当CP为边时，平行四边形可以看成CP平移产生的。由于点P的横坐标易得为3/2，则相当于CP的水平距离为3/2，那么点Q在点N的左侧或右侧水平距离为3/2处，根据对称轴的横坐标，易得点Q的横坐标为-1/2或5/2，代入抛物线即可。此法可以构造全等或平移的思路得到。

②当CP为对角线时，此时PQ可以看成NC平移得到的，那么N与C的水平距离就是P与Q的水平距离了。也就是点Q在P的左侧1个单位，横坐标为1/2。代入易得结论。

当然，习惯了用中点坐标公式也是可以的。
【答案】解：（1）抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）抛物线与轴交于，两点，
，
，，
点，
，
设点，
的面积为8，
，
或，
，，，
点坐标为，或，或；
（3）如图1，过点作轴，交于，

点，，
直线的解析式为，
设点，则点，
，
，
当时，有最大值，即点到直线的距离最大，
此时点，，
设点，点，
若为边，为边时，则与互相平分，
，
，
点，，
若为边，为边时，则与互相平分，
，
，
点，，
若为对角线，则与互相平分，
，
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，或，．

【总结】

平行四边形主要有“两定两动”与“三定一动”几种类型，具体的方法介绍已经在下面这本书中归纳了。此类问题难度不大，但是偶尔还是会出现。欢迎大家进行对比学习！