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知识点：中点问题、手拉手模型、三角函数、旋转变换、线段最值 已知两个以O为公共点且不全等的直角三角形AOB和COD，其中∠ABO=∠DCO=30° (1)如图①，设∠BOD=α(0°<α<60°)，点E，F，M分别是AC，CD，DB中点，连接FM，EM。请问：随着α的变化，FM/EM的值是否变化，若不变，求出FM/EM值，若变化，请说明理由。  分析：为了便于运用中位线，及构造手拉手相似，连接EF，连接AD，BC交于点Q，AD交BO于点P  易证：△AOD～△BOC ∴AD/BC=AO/BO=tan30°=√3/3① ∠OAD=∠CBO ∵∠APO=∠BPQ ∴∠BQP=∠AOB=90° ∴AD⊥BC 由中位线：EF∥AD，MF∥BC ∴EF=1/2.AD，MF=1/2.BC ∴EF/MF=AD/BC=√3/3 Rt△EFM中：FM/EM=√3/2。 (2).如图②，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB饶点O旋转的过程中，求线段PN长度的最大值和最小值。  分析：运用运动相对性，不妨将△AOB看作静止，△COD绕点O转动  ∵BO=3 ∴OA=√3/3.OB=√3，AB=2.OA=2√3 点N运动轨迹：以点O为圆心，NO=1为半径的⊙O上运动 当：点N运动到：N、O、B共线时，且点P与点B重合，此时PN取得最大值 PN=NO+BO=1+3=4 当：点N运动到：O、N、P共线时，且OP⊥AB，此时PN取得最小值 1/2.AB.OP=1/2.OA.OB ∴OP=3/2 PN=OP−ON=1/2。 |
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