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（全国联赛试题）已知关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根，则有理数r的值是多少？ 首先根据题目条件，方程有根，则判别式大于等于0， 所以△=（r+2）²-4r(r-1)=-3r²+8r+4≥0， 接下来就要根据根为整数来判断参数r了， x1+x2=-（r+2）/r=-1-2/r， x1·x2=（r-1）/r=1-1/r， x1和x2都为整数， 一般这类题目都需要转化出两个数相乘等于一个整数的形式，如此就可以判定两个乘数的可能情况， 那么我们要想办法将r抵消掉， 所以将x1·x2可以乘以2倍，即2x1·x2=2-2/r， 那么x1+x2=-1-2/r， 两个式子相减得到2x1·x2-（x1+x2）=3， 等号左边如何变为相乘呢？ 两边同时乘2，得4x1·x2-2（x1+x2）=6， 再同时加1，得4x1·x2-2（x1+x2）+1=7， 即2x1·2x2-2(x1+x2)+1=7， 十字相乘法因式分解， 得（2x1-1）（2x2-1）=7， 两个整数相乘得7，那么两个式子要么是1和7，要么是-1和-7， 当为1和7时，两根分别为1和4，r=-1/3， 当为-1和-7时，两根分别为0和-3，r=1， 那么这样是不是就完整了呢？ 不知道同学们是否考虑到了方程为一次方程时的情况，毕竟题上没有说方程时一次还是二次， 所以当方程为一次方程时，r=0，此时x不是整数，所以不合适，那么这种情况排除； 所以最终就可以确定r的值为-1/3或1； |
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