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前言：今天这道题是结合了几种题型知识点，涉及到的思维转换也是比较有趣，当然这并不是原题，肯定比原本的题目要复杂一些，记录下来以后备用。 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+c与y轴的交点为A，直线l：y=kx+2c与y轴交于点P，且与二次函数交于B、C两点，过点B、C分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E，且BP=BD，点M为BC下方抛物线上一动点， （1）求证：ac的值为定值； （2）探究：BD·CE与DE²是否存在某种数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数y=ax²+c经过平移后，得到的新二次函数对称轴为x=2，顶点为点E，且经过点A，当四边形OECP为正方形时（如图2），求出图中阴影部分的面积； （4）当k=2、c=1时，求△MBC面积的最大值，并直接写出此时点M的坐标； （5）在（4）条件下，过点M作y轴的平行线，交BC于点N，求线段MN的最大值； （6）在（4）条件下，假设点Q为x轴上一动点，是否存在这样的点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （7）当c=2时，若PC=2BP，且过点C作CF⊥BC，交x轴于点F，求点F的坐标； （8）在（7）条件下，若点G为y轴上一点，当△GBC为等腰三角形时，请直接写出符合条件的点G的坐标； （9）若在（7）条件下，坐标系内的⊙H与BD、BC、CE均相切，求出圆心H的坐标； （10）证明：△HBC为直角三角形恒成立； 图1 图2 图为老师在写字板上所画，由于只能全局擦除，所以有些地方很不标准没有办法更改，图2为随手又画了一个草图，两个图都可以看清楚，有强迫症的同学可以自己画一个。后面的图形老师就没有再画了，想要解题的同学就自己添上几笔吧。 （1）是到顶点的距离和到定直线的距离相等的证明，所以同学们可以慢慢想； （2）可以利用勾股定理去证明，方法相对会比较简单，但不容易想到； （3）不规则的阴影面积要利用割补转换的方法去思考； （4）典型的三角形面积最大值问题； （5）典型的截线段长度最大值问题； （6）直角三角形存在性的情况讨论，算是压轴题中比较复杂的一种； （7）这一问就要动点脑筋，可能很多同学想不出来方法，没事，多想想； （8）等腰三角形存在性的情况讨论，不过点在轴上，情况比较多，算是稍微复杂点吧； （9）这一问是老师突然想到的，放在这里比较有趣，利用九年级现有知识绝对没问题； （10）送分题； 后面几问老师没有作图，图1即可满足需求，本题涵盖了常考的几大重点压轴题类型，算是将几种类型合在一起，方便收藏备用吧。 暂时没毛病，如果发现哪里有问题，请留言指出 如有同学解出答案，可以在留言区给大家分享一下！ |
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