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如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点（不是端点），满足CD⊥AB，DE⊥CO，垂足为E，若ＣＥ＝１０，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长； 假设半径为r， 根据射影定理可得CE·CO=CD² 即CD²=10r 如果再下一步则根据勾股定理得 OD²=r²-CD²=r²-10r=r（r-10） 可是没多大用处， 而我们要求的是AD， 题中给出的AD和DB是整数， 但是它们和OD有啥关系呢？ 既然我们前面都用到了射影定理，别到这里就想不起来了， CD²=AD·DB， 即AD·DB=10r， 而r 和AD、DB什么关系？ AD+DB=2r， 则AD·DB=5（AD+DB） AD·DB-5（AD+DB）=0， 然后怎么玩呢？ AD和DB相乘和相加的形式，想起来什么呢？ 十字相乘法， 缺一个25，就可以组成十字相乘了， 那么两边同时加25， AD·DB-5（AD+DB）+25=25， 即（AD-5）（DB-5）=25， 现在问题来了，AD和DB肯定不相等， 所以AD-5和DB-5只能一个为25，一个为1了 根据条件可知只能AD-5=25， 所以AD=30； 如果这道题是一道填空题，那么到前面OD²那里可以使用凑数法很快确定OD=18，则AD也可以搞定； 但在解答过程中不能使用特殊值，只能按照过程一步一步求解，而能否想起射影定理和十字相乘法则是关键。 |
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