本省中考数学压轴题,这看着比二次函数压轴题有点难度,虽然第一小题可以蒙出来,但是不会证明的话后面基本无解。 分析: 条件很简单,正方形,AB=AB',DE⊥BE,就这三个条件。 第一小题既然问了本来就是直角三角形的形状,那么肯定得是特殊的等腰直角三角形;连接BD之后一下就能发现相似三角形的存在,即△BB'D∽△CED,所以BB'/CE=BD/CD; 第二小题又分成了两问,第一问还是让证明上一小题的结论,所以先不管; 第二问是组成平行四边形,第二个图看着是看不出来,但是第一个图的四个点如果连起来看着还比较像,所以要考虑第一个图中的位置关系也就是CD作为对角线的时候,而CD作为边的时候,B'E肯定要和CD平行,那么B'就只能在A的正上方了,那就更简单了。好像这道题也并不算难。 解析: (1)等腰直角三角形 √2 方法: 首先△ABB'是等边可得,那么∠BAB'是60°, 则∠DAB'=30°, 又AB'=AD 所以可得∠AB'D=75° 而∠AB'E=120° 所以∠DB'E=45°, 而DE⊥BE 所以可得△DB'E是等腰直角三角形 连接BD后,BD:CD=DB':DE ∠BDB'=∠B'ED=45°-∠B'DC 所以△BB'D ∽△CED ∴BB':CE=√2 (2) ①一般这种题,结论基本上都是仍然成立,当然也有几个别专门坑人的题。而这一道是不是目前还不清楚。咱们来试一试就知道了, 刚才是∠BAB'为60°,但是现在为α, ∴∠B'AD=90°-α ∠AB'D=45°+0.5α 而∠AB'B=90°-0.5α ∠AB'E=90+0.5α 如此一来 ∠DB'E=180°-∠AB'D-∠AB'B =45° 同样DE⊥BE仍然存在 那么△DB'E是等腰直角三角形成立; 既然这个都成立了,那么线段比例也不用多说了吧? ②既然刚才分析了有两种情况考虑,那么我们先来计算最简单的一种,也就是B'E//CD,这样的话点E就和A重合了,那么BB'=2AB,BE=BA,B'E=BA,所以比值为1; 再来分析第一种情况,CD为对角线时 有同学可能会考虑到B'和E都不是固定的,我们没法判定它们的位置,怎么寻找对边平行呢? 这个时候一定要记得平行四边形判定的所有方法,那么你就能想到对角线互相平分,所以如果平行四边形成立,则BE肯定经过CD中点, 我们将正方形的边长AB设为2,那么普通的思路就是搞定BE和B'E的长度求比值,怎么搞定它们呢? 我们假设CD中点为M,同时做AN⊥BE,可得BN=B'N, CM=1,则BM可得√5, 而△BCM和△ABN可得相似,所以BN可得,则BB'可得, 那么B'M可得,则EM一样,如此一来 还需要验证平行四边形成立的时候DE和BE垂直是否成立,如果不成立就无法说明我们刚才所得是正确的, 既然平行四边形已经成立,那么只需要CB'⊥BE能够成立也就说明DE⊥BE, 连接CB',同时做B'F⊥BC于F, 那么B'F可得,CF也可得,求出CB', 验证∠BB'C是否为90°,如果成立,则说明我们刚才的过程都是正确的, 那么再用BE和B'E的长度求出比值即可; 当然,这个过程是比较麻烦的,所以老师第一反应是这个思路方法,但是懒得去算啊,所以只能思考另一种方法。 如图,我们延长AD和BE,让它们相交于F,仍然假设CD中点为M, 我们知道平行四边形成立的时候CD为对角线, 则△BCM≌△FDM可得, 所以DF=BC=AD, 我们仍然做AN⊥BE于N, 我们知道DE⊥BE,所以DE//AN, 则DE为△AFN的中位线, 所以NE=EF 假设BN=a,则AB=√5a, BF=5a, 所以NF=4a, 则EF=NE=2a,BE=3a 那么B'E=NE-NB'=NE-NB=a 所以BE:B'E=3, 由于我们是用垂直作为起点,而我们还要验证一下这样推出来的结论是否让平行四边形成立 M是CD中点已经确认,那么只剩下M是B'E的中点证明一下即可, BF=5a,BM=2.5a, BB'=4a 所以B'M=0.5a 所以ME=0.5a M是B'E中点成立,说明平行四边形成立, 所以比值为3成立; 当然除了该方法还可以建立坐标系,就不提供了,有兴趣自己试试。 |
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