欧拉数e是一个数学常数~2.718,定义如下:
这个常数是由瑞士数学家雅各布·伯努利发现的。
称为指数函数,它等于它自己的导数(它是唯一具有这个性质的函数)。
超越数 实数可以是代数的也可以是超越的。根据定义,阶数为n的代数满足具有整数系数的多项式方程,例如:
代数数的次数为n的事实意味着x的系数不为零。超越数是不满足如式3这样的方程的实数。 e的超越 我们这篇文章的目的是证明e是一个超越数。这个证明的最初版本是由法国数学家查尔斯·埃尔米特提供的,但是这里给出的版本是由德国数学家大卫·希尔伯特简化的版本。
我们首先假设与我们要证明的相反,即e是n次的代数数:
我们开始用有理数来逼近e的幂。我们定义了以下对象:
这里
注意,式(4)和式(6)中的n是相同的量。式 6有两个明显的特点: 第一个括号内的表达式是整数,并且选择M使得表达式不为零在第二个表达式中,将选择,使其足够小,以使表达式的绝对值<1
我们的证明将包括证明式6不可能是正确的,它构成了一个矛盾。发生这种情况是因为非零整数和绝对值<1的表达式的和不会消失。 定义M和 埃尔米特通过定义M和开始,首先,他将M定义为:
这里p被选为质数,以后再确定。' p可以看作是我们想要一样大(但M将任何值的整数p)。其他的M和被定义为:
现在我们通过选择p来满足上面的性质1和2。 我们先求积分M,把分子中的二项式乘出来,我们可以得到下面的等式:
具有积分系数。将此替换为M并使用: 方程11:阶乘m的积分表达式。我们得到
将自己限制为大于n的素数,我们立即看到该方程式的第一项不能被p整除。但是,我们可以很快看到第二个项可以。扩展阶乘:
因为M不能被p整除,所以方程6的第一个括号也不能被p整除。引入变量y: 积分就变成: 分子括号内的多项式有整项系数 经过几个步骤,我们得到: 对于整数cs(其中使用了式 11)。每一个M(k)是能被p整除的整数,所以式6的第一个括号不能被p整除。因此,我们得出结论,式6的第一个括号中的项是一个非零整数。如果它是0,它可以被p整除,我们得出结论是:它不是0。 最后一部分是证明如果我们选择一个足够大的p值,则式7是正确的。使用式 9,经过几个步骤,我们发现: 如果这个二项式乘积的绝对值对于x∈[0,n]有一个上界B,则有: 当p→∞时,RHS→0,证明成立。
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