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我们当中的大部分人已经习惯了“零”的存在,但似乎很少会思考“零”是什么:它是如何被发现的,又是如何被定义的。美国普林斯顿大学数学博士、科普作家达纳·麦肯齐在其书作《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》中便解释了“零”的发现。 “在2009或90210这类数字中,零是用来表示空置数位的符号,这是零的功能。如果没有零这个数字,我们就无法区分这两个数字与29和921。在一个位值数字系统中,2’的意义取决于它所在的位置;在29这个数中,2代表两个十;而在2009这个数中,2代表两个千。”麦肯齐在书里写道。“零”的概念似乎也没有重要到不可取代。“像古埃及或古罗马一类不使用位值系统的文化中不存在这个间题,也就不需要对应于空位的符号。人们可以很容易区分罗马数字MMX(2009)和XX(29)。因此,零这个观念没有在这些社会中出现也就不足为奇了。” 在过去很长一段时间里,人们已经意识到“零”的存在,但只是把它当成一个空数位,为其他数字服务。在公元7世纪的印度,“零”被当作实际存在的实体对待。当时的数学家婆罗摩笈多清楚地解释了“零”的本质:“两个正数的和是正数,两个负数的和是负数;一个正数和一个负数的和是它们的差;如果这个正数与这个负数(绝对值)相等则和为零。因此,零是通过两个数量相等(绝对值相等)的正数与负数相加得来,例如1+(-1)。这就是现代理念1-1的意义。” 据麦肯齐的介绍,婆罗摩笈多是位有些傲慢的数学家,他经常以嘲弄的态度对待对手,即使对方是学界前辈,他会讥讽对手哪怕把一些理论著作倒背如流也成不了大师。或许这就是天才的一种性格,在近3000年前,他便解释了“零”的存在。如今,几乎所有人都意识到了“零”的重要性,尤其是数学家。“数学家们把它称为单位元素,因为把它加到任何数字上都不会改变那个数字。单位元素对数学的重要性就相当于同义词对文学的重要性。没有谁会质疑我们为什么同时需要'幸福’与“高兴’这两个词,它们能让我们以不同的方式述说本质上相同的事情,但可能却揭示了略为不同的细微之处。零的存在让数学家有了同样的灵活性,根据问题的需要，人们可以把x表达为x+0,也可以由此出发将其改写为x+1-1或其他多种方式。” 每一次数学发现的背后都有一个故事,“零"如此,π亦如此。众所周知,是中国古代魏晋时期的数学家刘徽把π称为“圆周率”。他和阿基米德用同样的方法估算π的数值范围,都是从正六边形开始,逐一增加倍数,直到正96边形。“这样两个伟大的天才,尽管他们天各一方、时隔数百年,却有完全相同的想法,这是多么令人吃惊的事实啊!他们的答案存在着细微的差 别,唯一原因是刘徽在计算过程中进行了更为仔细的近似处理。” 据《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》,刘徽实际上将这个过程进行到了正3072边形,并得到了π的四位准确数字,即n~3.1416。“有趣的是,刘徽以这种精确度算出了π值,但他对《九章算术》其他问题的所有注释中用的都是较为简单的圆周率近似值:π~3.14。这种不一致现象指出了刘徽本人心理上一个非常有趣的特点。他一定已经意识到,对于任何实用性问题,更为准确的近似值并没有什么可以想象得到的益处。除非你有一台激光干涉仪(这东西当时不存在),否则你测量土地直径的精度无法达到四位小数,因此使用如此精度的圆周率毫无意义。” 如今,在计算机的帮助下,我们对π的位数的发现已经突破了1亿位,而这更加凸显了古人每一次数学研究突破得不易,以及他们对这个世界可贵的好奇心。他们用一种笨拙的方法试图去解释世界,敏锐感知到有些看不见的东西在影响着世界万事万物的运行。毫无疑问,他们是巨人,为后人提供了可以登高望远的肩膀。 |
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