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一元一次不等式组的应用是一元一次不等式组章节的重要组成部分，是考试必考的内容，也是中考的考试热点内容。在初中数学应用题中，方程应用、函数应用和不等式应用是常见的三类应用题，在考试中往往会将方程、函数和不等式综合考查，一般第一问是找等量关系列方程，求相关量的值；第二问找不等关系，列不等式组，求相关量的取值范围或方案；第三问需要找等量关系，列出函数表达式，综合第二问的结论选择最优方案。 列不等式组解应用题的关键 应用题主要考查的是学生阅读理解、数学建模和转换能力，在列方程和函数的题目中找准等量关系，合理设元并表示出相关量，列出方程式或函数表达式是解题的关键；在不等式组应用题中解题的关键是找准不等关系，再合理设元并表示出相关量，列出不等式组。 解应用题的关键就是找出等量关系或不等关系，那么在解题中第一步就是要读题、审题，在读题和审题的过程中对题目的关键条件和字眼做一标注，像数字条件，表示等量关系的字眼（等于、同样、相等……），表示不等关系的字眼（大于、小于、不超过、不低于……）；在读完题目后需要将题目的条件做一整理和归纳，得到表示等量关系或不等关系的文字表达式，寻找各关系量之间的关系，根据题目的条件合理设元并表示出相关量，然后用代数式和数学符号替代文字表达式中的各个量和语言，最后就得到了方程式、函数关系式和不等式组。最后再解方程和不等式，根据函数的性质进行运算和选择。 在应用题中主要考查的就是阅读理解能力和转化能力，从文字语言中抽象出数学关系式，将文字语言转化成符号语言，在思维上有一定的跳跃性和难度。尤其是在不等式组的应用中，一定要善于去分析条件，寻找解题的关键和突破口，也就是题目中表示不等关系的字眼，再结合题目的条件列出不等式组。 应用不等式解决实际问题的基本步骤 ①认真审题，分析已知量、未知量和不等关系，并用文字式简略表示出来；②根据题目需要设出适当的未知数，并且将相关量都用含有未知数的代数式表示出来。③将用文字表示的表达式用代数式和不等符号替换，根据不等关系列出不等式；④求出不等式的解集，检验求得的解集是否符合题意，写出答案。 应用举例 我们来分析和讲解一道例题，来认识不等式应用题的基本解题思路和方法： 首先来读题和审题：在这个过程中需要找到题目中的重要条件，在读完题目后我们发现这个题目中存在着两组重要条件： 已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． 由这两个条件你能想到什么呢？ 在数学题目的解答中必须要对题目的条件进行深加工和挖掘，找到隐藏在已知条件背后的信息，这才是解题的关键。 这两个条件中其实就蕴含着两组等量关系式子： 一个篮球比一个足球的进价高30元，能得到什么样的数学式子呢？ 篮球的单价=足球的单价+30元，这是一个比较直观的结论 买两个篮球和三个足球一共需要510元．又能得到什么样的数学式子呢？ 两个篮球+三个足球=510元， 这不是完美的数学表达式，还能转化吗？想着与第一个式子产生关联， 篮球单价×2+足球单价×3=510。 分析到这，题干中的条件基本上已经都分析透彻了，下面来看看问题： 第一问：求足球和篮球的单价 在分析题目的已知条件中我们得到了两组等量关系，且都是有关篮球单价和足球单价的，两个未知量，两组等量关系式，很容易联想到需要用方程或方程组来解答。 我们就用方程组来解答： 设篮球的单价为m元，足球的单价为n元。代入上面的两个等量关系式中：可得 解方程组得： 所以，篮球的单价为120元，足球的单价为90元。 在这个题目中，也可以用一元一次方程来解答，用一组等量关系来设元，用另一组等量关系来列方程。在设未知数的时候需要注意，因为本题在后面的小问有了未知数x和y，为了避免混淆，在第一问设元的时候需要注意。 第二问： 根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的1/3，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？ 读完题目，我们不难联想到，这一问的解答需要运用到不等式组，为什么呢？ 我们来看看题目的条件，有三组： ①购买篮球和足球共100个②篮球购买的数量不少于足球数量的2/3③购买这批篮球和足球的资金最多为10500元 分析第一个条件，购买足球和篮球功100个，比较简单，可以直接写出如下的等式： 篮球数量+足球数量=100个 分析第二个条件，篮球购买的数量不少于足球数量的2/3， 关键字“不少于”，这就提示了我们需要用不等式，“不少于”对应的不等号是≥，篮球的购买数量不少于足球数量的2/3，用数学符号替换，也就是：篮球的购买数量≥足球数量×2/3，得到了第一个不等式； 分析第三个条件，购买这批篮球和足球的资金最多为10500元。 关键字是'最多'，也提升了我们需要用不等式，'最多'对应的不等号是≤购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，继续分析和转换，购买篮球的总资金+购买足球的总资金≤10500元，再继续转化，篮球的单价×数量+足球的单价×数量≤10500元，将篮球单价120元，足球单价90元代入，可得120×篮球数量+90×足球数量≤10500。得到第二个不等式。 综合分析条件，发现存在三组关系量中存在一组等量关系和两组不等关系，这两组不等关系经过转化后都存在着两个未知量，篮球的数量和足球的数量。 我们子啊初中学的是列一元一次不等式组解应用题，在上述的不等式组中都存在着两个未知量，怎么办？ 别忘了，还有一个条件，已知足球数量和篮球数量之和，那么设出其中一种的数量就可以用和减去这种的数量就表示出了另一种的数量。 设购买篮球x个，则购买足球（100-x）个， 然后代入第一个不等式中， 篮球的购买数量≥足球数量×2/3，即 x≥2/3（100-x） 再代入第一个不等式中， 120×篮球数量+90×足球数量≤10500。即 120x+90（100-x）≤10500 则可以得到不等式组： 解不等式组，可得： 解得：40≤x≤50， ∵x为正整数， ∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， ∴共有11种购买方案． 在第二问中，解题的关键在于找到表述不等关系的关键字，并用相关的不等号来替代，然后从文字关系式中抽象出数学不等式。 第三问： 若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值． 我们来做一简单的分析： 若购买篮球x个，则购买足球（100-x）个， 总费用y=篮球的费用+足球的费用 总费用y=篮球的单价120×篮球的数量+足球的单价90×足球的数量 则：y=120x+90（100-x） 整理得：y=30x+9000 我们发现这是一个一次函数关系。 y=30x+9000（40≤x≤50） 结合一次函数的性质进行分析和运算：k=30＞0，所以y随x的增大而增大，当x=40时，y有最小值，y最小=30×40+9000=10200（元），所以当x=40时，y最小值为10200元． 这一问主要考查函数，列出总费用y关于篮球数量x之间的函数关系式是解答这一问的关键，然后再结合函数的性质及第二问所得的方案进行分析和判断即可。 虽然这道题目相对简单，但比较典型，综合考查的方程、不等式和函数，对解题的过程和思路做了详细的分析，给出了一个解题的规范和模板，初学者完全可以按照这个思路去进行分析和解答，掌握解题的方法、思路和要领，然后尝试着运用这种方法去进行一些练习题，随着熟练度的提升，我们解题的速度会越来越快，准确率也会越来越高。 分享10道练习题：
希望这些分享对你的学习有所帮助。 |
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