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如何通俗地解释欧拉公式(e^πi 1=0)?

 wenxuefeng360 2021-06-19
数学算法俱乐部

日期 : 2021年06月03日       

正文共 :1711

来源 : matongxve314

欧拉公式,被誉为上帝公式, e、 i 、 pi 、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立和三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”。形式简单,结果惊人,欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上,看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前,我们先看一些重要的复数概念。

 1.1 i的由来 
图片,这个就是i的定义。虚数的出现,把实数数系进一步扩张,扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了,虚数只好向二维要空间了。
可是,这是最不能让人接受的一次数系扩张,听它的名字就感觉它是“虚”的:
  • 从自然数扩张到整数:增加的负数可以对应“欠债、减少”

  • 从整数扩张到有理数:增加的分数可以对应“分割、部分”

  • 从有理数扩张到实数:增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度图片

  • 从实数扩张到复数:增加的虚数对应什么?


虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了(即复数开方运算之后得到的仍然是复数)。
看起来我们没有必要去理会图片到底等于多少,我们规定图片没有意义就可以了嘛,就好像1/0一样。
我们来看一下,一元二次方程图片的万能公式:其根可以表示为:图片其判别式图片
图片
图片
我们再看一下,一元三次方程图片
,一元三次方程的解太复杂了,这里写不下,大家可以参考 维基百科 ,但愿大家能够打开。
我们讨论一下图片,此时,一元三次方程可以化为图片,其根可以表示为:
图片
其中:图片
判别式为图片,注意观察解的形式,图片是被包含在根式里面的。
图片
图片
要想求解三次方程的根,就绕不开复数了吗?后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根,但是在当时并不知道,所以开始思考复数到底是什么? 
我们认为虚数可有可无,虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物,只在形式上被定义,但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在,并且成为重要的分支。 

 1.2 复平面上的单位圆 
在复平面上画一个单位圆,单位圆上的点可以用三角函数来表示:
图片
图片

我们来看单位圆:
图片
 1.3 复平面上乘法的几何意义 
图片
同样来感受一下
图片


2 欧拉公式

在进入欧拉公式之前,

对于图片,有图片
----维基百科

欧拉公式在形式上很简单,是怎么发现的呢?

 2.1 欧拉公式与泰勒公式 

关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章:
如何通俗地解释泰勒公式? 。
欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的:

图片

图片代入e可得

图片
那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢?

 2.2 对同一个点不同的描述方式 
图片
我们可以把图片看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点,图片通过复平面的坐标来描述单位圆上的点,是同一个点不同的描述方式,所以有图片

 2.3 为什么图片是圆周运动?
定义e为图片

这是实数域上的定义,可以推广到复数域图片。根据之前对复数乘法的描述,乘上图片是进行伸缩和旋转运动,n取值不同,伸缩和旋转的幅度不同。
我们来看看图片如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的:
图片
图片
图片

从图上可以推出图片时,图片在单位圆上转动了1弧度。
再来看看图片,这个应该是在单位圆上转动图片弧度:
图片
图片
看来图片确实是单位圆周上的圆周运动。
来看看图片是如何运动的吧:

 2.4 2^i的几何含义是什么? 

图片看不出来有什么几何含义,不过我们稍微做个变换图片,几何含义还是挺明显的,沿圆周运动图片弧度。

 2.5 欧拉公式与三角函数 

根据欧拉公式图片,可以轻易推出:
图片图片
。三角函数定义域被扩大到了复数域。
我们把复数当作向量来看待,复数的实部是x方向,虚部是y方向,很容易观察出其几何意义。
图片

图片
 2.6 欧拉恒等式 
图片的时候,代入欧拉公式:
图片
图片就是欧拉恒等式,被誉为上帝公式,图片乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。

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