如今对于有点数学基础的人来说，都知道复数是实数的扩展，实数加上虚数就组成了完整的二维数——复数。 虚数的几何意义：虚数是垂直于实轴的另外一维数的，和实数组成二维数，称作复数，并定义-1的二次根号正值为虚数单位，用i表示。 虚数单位的定义 然而，你不知道的是，在中学课堂，我们把虚数单位垂直实轴立起来，或许老师只花了一句话，但虚数的历史却花了数学家200多年。 今天，我就来给大家细数，那些不同寻常的数学故事。 虚数的第一次出现，应该要从三次方程的解法讲起。 缺项三次方程的求根公式最早是费罗（Scipione del Ferro，1465-1526）得到，后来1535年丰塔纳（Niccolo Fontana，1500-1557）也独立得到了这个公式，但两人都没有发表，而是当作一项优势技能，去挑战其他数学家，以此来获得荣誉和奖金，这在我们现在看来是不可思议的。 后来，数学家卡尔丹（1501-1576）有幸得知丰塔纳得到了三次方程的求根公式，于是卡尔达诺去请求丰塔纳告知三次方程的解法，在卡尔丹的多次请求下，丰塔纳告诉了他求解公式，但并未传授他公式的推导过程，并要求他发誓严守三次方程解法的秘密。 后来，卡尔丹有幸看到了费罗的遗稿，他觉得自己再也没有必要受誓约限制了，因为费罗才是第一个发现缺项三次方程求根公式的人，于是他在1545卡尔丹发表了自己的著作《大衍术》，也称《大术》，在书中卡尔丹把求解推广到了一般三次方程，并发表了著名的缺项三次方程求根公式，这个公式就是著名的——卡尔丹公式。（后来丰塔纳觉得自己被欺骗了，于是对卡尔丹发起了狂风暴雨般的诉讼，告他剽窃） 历史留给后人评判，我们来看他的缺项三次方程求根公式： 卡尔丹的缺项三次方程求根公式 我们把缺少2次项的三次方程叫做缺项三次方程，对于一般三次方程，我们只需要做变量替换（x=y-a/3）就可以把一般方程变成缺项方程，这将大大化解我们的求解难度。 如果我们对三次方程稍作研究，很容易发现三次方程必定有一个实数解（三次方程的曲线必定穿过横坐标），而卡尔丹公式就给出了这个解，另外两个解可以利用长除法化解成二次方程。 但是卡尔丹公式里面，隐藏着一条恶龙：因为一方面，这个公式得到的，肯定是三次方程的一个解；另一方面，两个二次根号下面却有可能得到一个负值。 在十六世纪，对负数开根号对数学家来说是不可能的，他们会随手把这个结果扔进垃圾桶，认为是不可约的情况。 几十年来，数学家都琢磨不透卡尔丹公式中出现的负数开根号的问题，直到1572年，意大利工程师邦贝利（Rafacl Bombelli，1526-1572）首次尝试去解释卡尔丹公式里面“恶龙”的真正机制，这让他名垂青史，他出版的《代数学》中，他例举了这个方程： x^3-15x+4=0； 稍微琢磨一下，我们就能得到x=4是方程的一个解，利用长除法，很容易解出另外两个根x=-2±√3。（站在我们现在的角度，三个根都是实数。） 那么带入卡尔丹公式会怎样呢！ 带入求根 出现了负数的开根号，对于当时的数学家来说就是噩梦，会认为此方程不可约。但邦贝利那伟大的洞察力，看出了这个怪异的表达式后面的真正面目。（在我们现在看来，其实就是两个共轭复数相加，但我们是站在“后世诸葛亮”的角度） 邦贝利巧妙地利用待定系数的办法，把上面等式化解成： 邦贝利得到的结果 至此，卡尔丹公式给出了不可约情况下的正确解：x=4； 这可是个了不起的发现，对负数的开根号，居然可以加入运算，并且最终得到了一个正确结果，这对当时的数学家来说，无疑是发现了个“金矿”。 但这时的数学家，还是没有弄明白负数开根号的几何意义，因为要知道，笛卡尔（1596-1650）还没发明坐标系前，数学的全部几乎就是几何学，任何数学概念，只有找到几何意义，数学家们才能理解。 伟大的哲学家、数学家笛卡尔 然而虚数开根号几何意义，数学家们又探索了100多年，期间无数大数学家，牛顿，莱布尼茨，笛卡尔，甚至是欧拉这样的大数学家，也没能解开虚数的真正意义（虚数一词是笛卡尔发明的，用“i”表示是欧拉发明的）。 有人会说，欧拉不是发现了著名的欧拉等式： 欧拉恒等式 难道他也没弄明白，可以明确地告诉你——是的，欧拉也没弄明白虚数“i”的几何意义。 如果你去了解欧拉推导欧拉恒等式的历史，你会知道欧拉是从正余弦的级数展开推导出来的，并非是从虚数i的几何意义推导而来，但这并不影响他对虚数的使用。 直到欧拉（1707-1783）去世后十多年，这个问题突然被挪威的一名工程师韦塞尔（Caspar Wessel，1745-1818）解决了，1799年韦塞尔得到丹麦皇家科学院的支持，在院刊上发表了一篇非科学院院士撰写的论文《论方向的解析表示：一个尝试》。 论文中，韦塞尔正式把虚数当作二维数，表示成a+bi的形式，并提出了重要的复平面概念和辐角概念。至此，虚数正式登上数学的大舞台，为50年后的黎曼创立复变函数打下了重要基础。 看到这里，大家是不是有点惊叹，在没有复平面的概念下，韦塞尔前面的人，比如欧拉等人居然能把虚数使用得如此顺手，而我们花了一节课，就作为常识的知识，历史居然花了200多年，真是不可思议！！！看到这里，你是否有什么想法呢？ |
|
|
