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本文内容选自2020年广元中考数学压轴题,涉及直角三角形的存在性问题,难度不大。大家可以看看。
【中考真题】
(2020·广元)如图,直线分别与轴,轴交于,两点,点为的中点,抛物线经过,两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点是直线下方的抛物线上的一点,且的面积为,求点的坐标;(3)点为抛物线上一点,若是以为直角边的直角三角形,求点到抛物线的对称轴的距离.
【分析】题(1)先求出点A和B的坐标,然后代入求出抛物线的解析式。题(2)可以先设点D的坐标,表示出面积,然后再令面积为,解方程求出坐标即可。题(3)是两定一动型指教三角形存在性问题,由于知道了直角边AB,那么只需分别过点A、B作直线AB的垂线即可,与抛物线的交点就是所求的。然后构造三垂直相似可以建立等量关系求出坐标。知道坐标后,即可根据横坐标与对称轴之间的关系求出点P到对称轴的距离,难度不大。【答案】解:(1)直线中,令,则,令,则,,,点是中点,,将和代入抛物线中,,解得:,抛物线表达式为:;(2)联立:,解得:或,直线与抛物线交于点和,点是直线下方抛物线上的一点,设,,过点作轴,交直线于点,,,,解得:,点的坐标为;
(3)抛物线表达式为:,是以为直角边的直角三角形,设点,,,,,,当点为直角顶点时,,解得:或5(舍,
当点为直角顶点时,,解得:或,
而抛物线对称轴为直线,则,,,综上:点到抛物线对称轴的距离为:或或.
来自: Hi老刘老师 > 《初中数学》
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