背景时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。 时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号转变为以频率轴为坐标表示出来。 一般来说,时域的表示较为形象与直观,频域分析则更为简练,剖析问题更为深刻和方便。 目前,信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而,它们是互相联系,缺一不可,相辅相成的。 对于这几天提到的PWM滤波电路,如果使用一阶R、C低通滤波电路, 在时域进行分析时,可以通过电容的电压和电流的微分关系得到一阶常微分方程,求解该方程得到电容两端的电压表达式,能比较清楚地分析电路的充、放电过程,计算得到纹波系数; 一阶R、C低通滤波电路 分析得到,纹波系数比较大 ,为了得到小于0.5%的纹波系统,对于频率为1.5KHz的PWM信号,R、C滤波电路的时间常数需要大于100ms左右。 为此,我们再加上一级R、C低通滤波电路以降低纹波,得到如下图所示的二阶R、C低通滤波电路,在时域分析求解微分方程变得非常困难,难以得到电压的解析表达式。 二阶R、C低通滤波电路 因此,我们需要在频率域进行分析。 三角函数的积分公式有以下三角函数的微、积分公式: 对于频率为某个频率f0的整数倍的两个正弦信号在一个周期内的定积分计算为: 上式中,,M,N为正整数; 根据三角函数的积化和差公式,得到: 从而,当 当时 , 因此,对于一组以频率f的整数倍频率的三角函数,具有正交性特点。 即这组三角函数中任意两个不同函数的乘积在一个周期的积分为0。 PWM信号的傅里叶级数展开对于周期为T,占空比为,低电平为0V,高电平为U的PWM信号。 对PWM信号进行偶函数延拓,在一个信号周期内的数学表达式为: PWM信号的数学表达式 波形如下: 偶函数延拓 可以认为该PWM信号由直流分量,以及频率为PWM频率整数倍的各种余弦波而成。 数学公式表示为: 将上式左右两边同时乘以,并在PWM的一个周期内进行积分,根据三角函数的正交性,得到: 将u(t)代入,得到: 最终得到PWM信号的傅里叶级展开式为: (式1) 以占空比为50%,高电平U=1V的PWM为例,其直流成份以及前几次谐波的幅度如下:
直流分量以及前7次谐波分量叠加的波形如下: PWM的直流分量以及前7次谐波分量叠加波形 通过multisim仿真软件的频谱分析仪分析PWM信号的频谱 一阶R、C滤波电路的频率特性一阶R、C滤波电路 在频域分析上述电路,电阻R1的阻抗为R1,电容C1的阻抗为 输入输出传递函数 幅值增益 当输入U1为式1定义的PWM信号时,输出U2表示为: 为了达到0.1%的精度,考虑第1次谐波分量的幅度与高电平相比<0.01%。 即有: 当时,该值最大,所以要求: 解得: 当PWM的频率为1.5KHz时, 也就是,比如高电平为1V,频率为1500Hz,占空比为50%的PWM信号, 当R1、C1的时间常数大于675mS时,1次谐波的分量的幅度小于0.1mV。 二阶R、C滤波电路的频率特性二阶R、C电路 对于二阶R、C电路,取R1=R2=R,C1=C2=C,其传递函数为: 化简得下: 其幅度增益为: 当R*C*w>>1时, 为了达到0.1%的精度,只需要: 当PWM的频率为1.5KHz时, 可以选择以下参数: R1=R2=20kΩ,C1=C2=470nF。 |
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