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在上一篇《数与图（12）——画椭圆》中，我们绘制了8个椭圆（其中一个是圆），并标注了8个椭圆的焦点，因为设定了b≤a，因此焦点在x轴上。从测试结果中观察到，当a不变时，b的减小导致焦点远离原点，且随着b远离a，焦点远离原点的速度变慢。 本篇文章将继续讨论绘制函数图形的话题，这次轮到了双曲线，它的标准方程为 本文只讨论焦点在x轴的情况。与椭圆类似的，双曲线也有焦点，焦点到原点的距离为c，且 由方程⑴可以推导出双曲线函数的表达式 以上的⑶和⑷就是我们编写程序需要的公式。 本文的目标与“画椭圆”相似，假设a不变（a=4），让b从20变到2，变化幅度为2，针对每一组a、b值，绘制一对双曲线，并在x轴上标注焦点的位置。 一、修改用户界面 打开“画椭圆”项目，将项目另存为“画双曲线”，并修改Screen1的标题为“画双曲线”。将原来的椭圆方程截图替换为双曲线方程截图，在画椭圆按钮右侧添加一个按钮，命名为“双曲线按钮”，设其显示文本为“双曲线”（省去一个“画”字以便按钮的宽度一致）。修改后的用户界面如图1所示。 图1 修改后的用户界面 二、编写程序 1、创建有返回值过程 （1）双曲线函数 该过程对于给定的参数a、b、x及“y大于0”，返回函数值y，注意这里的y是数学坐标系中的y，在稍后绘图时，需要转换为画布坐标系中的坐标。代码如图2所示。 图2 有返回值过程——双曲线函数 （2）双曲线焦点坐标c 该过程对于给定的参数a、b，返回双曲线焦点的坐标c（c>0），c为数学坐标系中的值，在绘图时需要转换为画布坐标系中的值，代码如图3所示。 图3 有返回值过程——双曲线焦点坐标c 2、新建、修改无返回值过程 （1）新建过程——求双曲线坐标列表 该过程从“求椭圆坐标列表”复制而来，添加了一个参数“左分支”，该参数为逻辑值。与椭圆不同的是，双曲线包含两条曲线，对于方程⑴而言，两条曲线中一个开口向左，称为“左分支”，另一个开口向右，称为“右分支”。这两个分支需要单独绘制，因此，绘图坐标列表也必须是独立的列表。当参数“左分支”为真时，过程返回左分支的坐标列表，否则，返回右分支的坐标列表。具体代码如图4所示。 图4 无返回值过程——求双曲线坐标列表 还有一点需要特别提起注意的是，在绘制左分支时，循环变量是从小到大变化，其增量为正值，这样，y1列表从负的最大值绘制到左顶点（曲线与x轴的交点），而经过逆序排列的y2列表可以确保曲线从左顶点绘制到负的最大值，这样的绘图数据保证了绘图的连续性。然后在绘制右分支时，情况就不同了，如果循环变量仍然从小到大变化，那么绘图从右顶点开始向上绘制到最大值，然后，曲线会突然跳到第四象限，也就是与x最大值对应的负的y值，并绘制一条垂直于x轴的直线，这不是我们希望看到的结果。为此，当求右分支的坐标列表时，循环变量必须从大到小变化，即，其增量为负值。有兴趣的读者不妨试试看。 （2）修改过程——绘制焦点 为了利用原来绘制椭圆焦点的过程，这里需要为该过程添加一个参数“画椭圆”，该参数为逻辑值，当其值为真时，绘制椭圆焦点，否则，绘制双曲线焦点。代码如图5所示。 图5 修改绘制焦点过程 （3）新建过程——画双曲线 该过程是从画椭圆按钮的点击事件处理程序中复制而来，参数“左分支”为逻辑值，当其值为真时，绘制左分支，否则绘制右分支。代码如图6所示。 图6 新建过程——画双曲线 3、事件处理程序 在双曲线按钮的点击事件中，依次调用“画双曲线”过程，完成左右两侧曲线的绘制。在开始测试之前，要将全局变量a的值修改为4，即，我们要绘制的双曲线其顶点坐标为(-4,0)及(4,0)。代码如图7所示。 图7 双曲线按钮的点击事件处理程序 三、测试 连接AI伴侣进行测试，结果如图8所示。
图8 测试结果 图8中有八对双曲线，从曲线及焦点的颜色上可以看出，随着b的绝对值的增大，曲线开口增大，同时焦点逐渐远离原点。有趣的是，变化的焦点之间似乎是等距的，也就是说，焦点远离原点的速度似乎是不变的，这与椭圆焦点的变化特点有所不同。 最后不要忘记修改画椭圆按钮的点击程序，为绘制焦点过程新增参数赋逻辑值“真”，代码如图9所示。
图9 修改画椭圆按钮的点击程序 四、讨论 椭圆和双曲线是高中数学中难度相对较大的内容，围绕它们可以展开的内容还有很多，如椭圆的离心率、面积，双曲线的虚轴、渐近线等等，如果再向物理领域延伸，这两者又与行星、彗星的运行轨道有关。基于这些知识，借助于程序这个工具，我们可以充分展开自己的想象力，去模拟那些现实世界中无法实现的实验。 |
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