泰勒公式分为两部分: 上个视频中,我们介绍了泰勒公式中的多项式部分如何利用奇偶函数的性质,逼近曲线 的: 但系数是多少,余项又是什么都没有交代: 这篇文章就来回答这两个问题。 2 总体思路 让我们将泰勒公式展开: 泰勒公式的多项式系数是本文要求的,是未知的,所以将它们用 来代替 这样,我们要求的就是, 以及 很显然现在是求不出来的,我们必须根据多项式不断逼近光滑函数的思想对余项 做出假设。 再根据假设来推导出各个系数的值。 下面来讲述细节。 3 对余项的观察 为了叙述方便,我们 表示余项: 下面来观察随着泰勒公式的展开,余项会发生什么变化。 3.1 零次展开 泰勒公式的零次展开为 其中,多项式部分( )为过展开点的一条横着的直线: 零次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 : 3.2 一次展开 泰勒公式的一次展开为 此时,多项式函数( )为一条斜着的直线: 相应的,一次展开的多项式与光滑函数的差值为余项 : 可以看到差值在缩小,也就是 3.3 二次展开 同样的道理,泰勒公式二次展开时,多项式为二次函数:
该多项式函数为过展开点的二次曲线: 此时,二次展开的多项式函数与光滑函数的差值为余项 : 差值继续缩小,也就是 3.4 次展开 泰勒公式 次展开时,多项式为 次函数:
对应的图像为过展开点的 次曲线: 此时,多项式函数与光滑曲线的差值为余项 : 3.5 余项的趋势 用 表示从零次展开到 次展开的余项。 可以看到,随着多项式的展开,余项在不断减小。 找到余项这个规律,下面我们尝试用数学符号把余项表示出来。 4 余项 将 附近范围的半径用 表示: 4.1 零次展开 零次展开时的余项是 : 此时可以看到,在 不断缩小时, 都在不断靠近零: 由此可以假设 是关于 的无穷小,用 表示: 则此时泰勒公式展开为: 4.2 一次展开 一次展开后,多项式为一条斜着的直线,余项也随之缩小 要达到上图的目的,需要在零次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将 展开为 ,其中 : 上面的等式右侧验证一下就知道的确是 的同阶无穷小: 所以一次展开后的泰勒公式为: 上面的展开结果可以用图表示为: 4.3 二次展开 二次展开后,多项式为二次曲线,余项也随之缩小 要达到上图的目的,需要在一次展开的基础上增加多项式以及减小余项。具体来说就是将 展开为 ,其中 : 上面的等式右侧验证一下就知道的确是 的高阶无穷小: 所以二次展开后的泰勒公式为: 上面的展开结果可以用图表示为: 4.4 次展开 不断重复上面的思路,不断拆分余项,拆分 次后可以假设余项为 ,这样泰勒展开式为 4.5 小结 前面我们根据多项式不断靠近光滑函数,假设出了各个余项 下面我们就要根据这个假设来推导多项式的系数了 5 系数 求解系数之前,我们首先用 把 进行替换 5.1 计算 下面根据式一的第(1)行计算 5.2 求解 将 带入式一种的第(2)行,可以得到: 带入式一的第(3)行可得(运算中用到洛必达): |
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