5个例外李群-造物主的恶作剧

在我们看来，自然界中的物体移动到另外一个位置，本身的结构并不变化，这似乎是顺利成章的事情。但实际上正是因为我们所在的三维空间具有“平移不变”的性质，这样的情况才得以司空见惯。一个系统内的结构可以连续变换并保持不变，那么这个系统必然存在某种对称性。平移就是一种空间内的连续变换，它对应着一种平移对称性，而这种对称性决定了物理世界的动量守恒。

“平移不变”的本质是平直三维空间中任何一个位置都等价于其他的任何位置，物体的结构因此而能在不同的位置间移动而保持不变。我们通常认为物体在空间中移动是自由的，这种自由只是假象，它只是建立在空间对称变换上的自由，即物质只能沿着空间的内禀结构自由运动，就像水只能从高处往低处流动一样。我们所在空间结构是由数学抽象世界中最基本的对称性决定的，在超出这些对称性的层面，宇宙只能像凝固在胶片上的图像，了无生机。而在符合这些对称性的层面，静止的图像就幻化成生动的影像，宇宙瞬间五彩纷呈。

现代物理学认为，三维空间中的运动，是各种力场作用的结果，这些力场是导致运动的最根本原因，而这些场都是以波的形式保持着振动，不停地进行着相位变换，就像无边无际的海洋，永远有规律的波澜起伏。我们看到的物质都在这片大海中沉浮，就连物质本身也是这片海洋中激起的浪花。物质、能量、运动都像是海上钢琴师的演奏，美妙的旋律或幻化为巍巍高山，或幻化为流水潺潺。宇宙场中的这些振动严格遵循着“对称变换”的音律，才形成了我们自然界美妙的世界，而所有这些都涉及到一门数学理论-群论。

虽然人类早已知道数的本质是结构，但是数学家从对数的运算规律的研究过渡到对整体结构性的研究仍然是非常传奇的。1829数学史上最具浪漫主义色彩的伽罗华（下图）以他过人的天才发明了一种理论，但这篇最终“开创数学史上崭新时代的论文”两次提交都阴差阳错的与公开发布失之交臂，一次因为柯西的生病，一次因为傅立叶的去世。

1832年，伽罗华在天亮之前最后几个小时为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，他将这些伟大的发现写在遗嘱中托付好友发表，然后为了愚蠢的爱情以21岁的年轻生命毅然走向决斗场。十几年以后，法国数学家刘维尔偶然看到这些手稿，花了几个月时间从抽象晦涩的描述中领悟到这些天才思想，才使伽罗华的发现为世人所知，并逐渐完善成一个成熟的数学体系，这就是群论。伽罗华以他非凡的天才洞悉到了“方程解的所有排列组合”组成的集合具有内部对称性，这些对称关系就是方程解的本质，而这也是揭开整个物理世界奥秘的钥匙，因为如果宇宙存在终极法则，那么这个终极法则就可以用一组方程来描述，而这组方程的解就将是宇宙的全部。

所谓“群”实际上是一个集合与一种运算的组合，这个组合可以具有一定的性质。如果这个集合中的元素通过这种运算之后得到的元素仍在集合中，比如整数做加法运算后得到的数始终是整数，我们就说这个群具有封闭性；另外，如果“几个元素的连续运算”可以在“保持原有次序”的前提下拆分为各个部分的组合运算，如5+3+7+1=（5+3）+（7+1）=5+（3+7）+1，我们就说这个群满足结合率；当然，群还可能具有其他一些性质，比如群里可以有一个基础元素：单位元，其他元素与这个单位元执行运算时不变，整数加法群中的单位元是0，则n+0=n；最后，群里每个元素可以有一个逆元，元素与它的逆元执行运算时就得到单位元，如5+(-5)=0。标准的群必须满足所有这4个条件。

群论是研究对称性的理论，“群”中涉及到各种各样的对称性，前面举例的整数加法群，就是一种交换对称群，即5+3=3+5。这种交换对称实质上是一种无限循环对称，因为在无限多的整数中，这个规律始终贯穿始终，它是塑造整数集的幕后推手。但是我们也看到整数加法群是离散的，因为整数是离散的。当然，还有一类群是连续的，比如圆在二维坐标系中绕着圆心连续旋转，圆始终是不变的，这个连续旋转就构成了一种连续变换群，这个群就是SO(2)。但是圆的对称性不止如此，绕着圆的任意一个直径在三维空间内旋转，圆也具有不变性，圆的这两种对称性共同构成了O(2)群。

挪威数学家李在1870年发现了这些连续变换群有着与其对应的代数，并进一步揭示了群、代数、几何、微分等数学分支之间的深刻联系，这些群被称为“李群”，它们所对应的代数称为“李代数”。1884年，数学家基令开始尝试通过研究“李代数”来对“李群”进行分类，但是后来他发现工作量太过庞大，转而进行“单李群”的分类。如果李群对应自然数的话，单李群就可类比为素数，它们是组成李群的单元结构。所有单李群最终被分为4个比较完整的大类，分别为奇、偶空间内的正交群、酉群、偶空间内的辛群，但是却有5个明显的例外无法归入这4类当中，它们分别为G2、F4、E6、E7、E8（下图）。这5个例外就像是散落在四块完整蛋糕外的碎坚果，仿佛是造物主设计这个世界时故意留下的恶作剧，让人百思不得其解。这个5个例外李群到底是怎么来的？它为什么会显得那么另类？数学家后来发现，它们都跟八元数有关，G2是八元数集的对称群，F4是八元数集的射影平面的对称群，E6由八元数与复数构成，E7由八元数与四元数构成，E8由八元数与八元数构成。在数学抽象世界的最底层，因为“实数域上的赋范可除代数只有：实数、复数、四元数、八元数”，所以才存在着这几个神奇的例外单李群。

在物理学中，每种力场其实都分别对应着一类对称群，电磁场对应的是U(1)群，弱电相互作用对应的是SU(2)×U(1)群，强相互作用对应的是SU(3)群，将强、弱、电磁统一在一起的标准模型对应的是SU(3)×SU(2)×U(1)群，这些群代表的是物质世界不同的场中的物质或能量的概率波的变换规律，这些规律驱动着微观粒子的运动与生灭。我们现在知道，SU(3)、SU(2)、U(1)都跟基令的5个例外李群有关，正是因为这几个例外群，才幸运的产生了我们的宇宙。可以说，我们的宇宙即是一个特例，也是一个必然。

使用群论的思想，人类在认识宇宙的征程上迈出了可喜的一步，但是从爱因斯坦时代就开始的物理学大统一的梦想还远没有结束，塑造宏观世界形态的引力场似乎永远是一个另类，它与其它几种力场始终格格不入，这也是量子力学与广义相对论难以弥合的原因，但物理学家始终坚信宇宙最初是超对称的。所有的力场也是统一的，之所以在不同的物质层面表现为不同的力，是由一种叫做“自发对称破缺”的物理规律造成的。

我们都玩过陀螺，当陀螺飞速旋转时，它会直立在桌上，在旋转能量持续维持的情况下，陀螺会保持这种旋转对称的稳定结构。但是一旦能量丧失，旋转陀螺的对称性就会被逐渐打破，直到彻底停止并倒向一侧。这一过程中，对称性从有到无，自发地消失，这种从高能级到基态的过程中，从一个对称的体系变成不对称的过程，称为对称性自发破缺。

虽然超对称及大统一是科学家追求的终极目标，但是对于引力，物理学家一直无法找到很好的模型来描述。直到美国加利福尼亚大学洛杉矶分院的哲学博士加瑞特·里斯(Garrett Lisi)的出现，喜欢在夏威夷冲浪的他单枪匹马的悄悄进行着统一物理学的尝试。他通过计算机来模拟SRE8（李群E8的根系）几何图形在八维空间内的旋转，SRE8是一个具有240个顶点的复杂八维多面体（下图为三维投影模拟），

整个旋转过程在四维空间中形成映射。这就像把光打在金属结构组成的模型上，从而在屏幕上投射出各种符合量子力学的几何图形的暗影（下图）。

通过使金属结构在光线前巧妙地转动，屏幕上最终显示出符合引力法则的几何图形。这一虚拟实验貌似让四大基本作用力在同一整体内获得了统一，它通过投射的动画影像直观的显示了量子力学和引力的“粒子—顶点”是如何融合在一起的，表明了量子力学和广义相对论也许是可以通过SRE8几何图形在一个更为广阔的理论范畴内得到统一的，尽管他的理论并不完整且仍广受批评。