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大学学习微积分的时候也不太理解，糊里糊涂地学完了。后来读研究生的时候，出于学习人工智能建模的需要，接触到了形式逻辑、本体论这些东东，才有了种茅塞顿开的感觉。 我们学习初等数学的时候，往往会通过具体的例子去理解数学公式。比如，通常我们会把微分理解为把一根棒子无限细分，这种理解在定积分的时候还凑合，到了不定积分就不灵了。实际上，微积分是非常形而上学的东西。它的很多定理和公理都是为了让体系能自洽才建立起来的。比如，微分最初的意义（牛顿提出来的时候）确实是建立在无限细分的思路上的，但是，人们很快就发现无论如何都没法完美解释芝诺悖论（蚂蚁永远走不到棒子的另一头、阿克琉斯永远追不上先走的乌龟什么的）。直到后来，人们把连续当成了公理，蚂蚁能走到棍子的另一头只是因为棍子是连续的，在连续的空间上，比起确定某一点的数值来说，确定趋近某一点的速度更加重要，这种速度是用0/0（导数）来描述的。不过，蚂蚁通不过有断点的地方，这种地方谈不上无限趋近，0/0没有任何意义。 简单地说，数学是一整套逻辑自洽的理论，借助生活经验去理解数学是行不通的，象记棋谱那样反复练习数学的逻辑套路，才能学好数学。 |
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