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34：辕门射戟 - 定点问题 
在圆锥曲线问题中,经常考查过圆锥曲线C上的一点 ,引出两条直线 , 分别是两直线与C的交点,当 时,直线 恒过定点,这样的问题我们称之为直角弦过定点问题. 
根据圆锥曲线C的不同椭圆,双曲线和抛物线,有三种不同类型的过定点: (1)椭圆的直角弦:在椭圆 上任取一点 ,过作两条互相垂直的弦 ,则直线恒过定点 (2)双曲线的直角弦:在双曲线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点 (3)抛物线的直角弦:在抛物线上任取一点,过作两条互相垂直的弦,则直线恒过定点 既然证明直线过定点,所以我们的目标是求出直线的方程——两种思路:一是直接设出方程利用关系找与的关系,二是利用两点的坐标求出的方程。 思路一:设的方程为,与椭圆联立,设,利用韦达定理可得,从而得到:, 根据,即,整理得: 代入上式,从而能够得到找与的关系,进而得到直线的过定点; 思路二:设的方程为,联立椭圆方程,根据韦达定理可得到,从而求出点的坐标;同理求出点的坐标,求出,写出直线的方程,最后得定点。(此方法运算量大,处理起来很难) 在解题时，我们可以根据这些定点坐标公式来检验我们计算的结果是否正确。
(2020·山东·22)已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程: (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意可得:,解得:, 故椭圆方程为:. (2)设点. 因为AM⊥AN,∴,即,①
当直线MN的斜率存在时,设方程为,如图1. 代入椭圆方程消去并整理得:, ②, 根据,代入①整理可得:
将②代入,, 整理化简得, ∵不在直线上,∴, ∴,于是MN的方程为, 所以直线过定点. 当直线MN的斜率不存在时,可得,如图2. 代入得,
结合,解得,, 此时直线MN过点, 由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边, 所以AE中点Q满足为定值(AE长度的一半). 由于,故由中点坐标公式可得. 故存在点,使得|DQ|为定值. 1.过上一点,作两条射线交抛物线于两点,且,证明:直线恒过一定点并求出该定点坐标。 2.（2014年辽宁理科20）圆的切线与轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为. （1）求的方程； （2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的方程.
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