数学破题36计第16计 摆渡开门 萍水相逢

第16计 摆渡开门 萍水相逢

●计名释义

有道数学题，求证π>.  很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者.  现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.

因为π>3，又3>，所以π>.

这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.

●典例示范

【例1】   已知曲线C ：，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C₁的方程.

【分析】   一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C₁上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q（x′, y′)，  (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C₁的方程.

此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.

【解答】   由x-y+1=0得       代入C的方程得

即得C₁的方程得

【点评】   对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.

 

【例2】   长为2的线段AB在抛物线y=x²上滑动，求AB中点的轨迹方程.

【解答】   设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)为抛物线y=x²上两点，那么：

设AB中点为M(x,y)，那么:，

有:

∴|AB| ²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² =（1+4x²）（x₁-x₂）² =（1+4x²）［（x₁+x₂)²-4x₁x₂］

=（1+4x²）［4x²-4（2x²-y）］

已知|AB|=2.  ∴（1+4x²)（y-x²)=1所求点M的轨迹方程为：y=x²+

【点评】   本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.

 

【例3】   椭圆(a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α=的直线l交椭圆于A、B两点，已知AB的中点为M.

（1）求椭圆的方程；

（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|²+|OQ|²=的两点，求证：|k_OP·k_OQ|为定值.

【分析】   按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大.

请欣赏如下解法：

【解】   （1）椭圆的右准线为x=1，即∴a²=c，b²= a²-c² = c-c².

所求椭圆应为：               也就是   (1-c)x²+y²= c（1-c）   ①

设弦AB的两端分别为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则:



∵k_AB=，又AB中点为M，∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=

以上全代入②：1=,  ∴1-c=，c=，代入①：x²+y²=

所求椭圆方程为：2x²+4y²=1.

（2）由（1）知椭圆方程：2x²+4y²=1.  设P、Q的坐标依次为（x₁，y₁），(x₂，y₂).

有：③

∴|OP|²+|OQ|²=,     ∴(x+y)+(x+y)=          ④

③代入④：x+x+-（x+x）=,

∴x+x=.

∵

故|k_OP·k_OQ|=为定值.

【点评】   本解的优点是：

1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；

2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达到最佳效果.

【例4】   （05湖北卷21题）设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

【分析】   （1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.

【解答】   （1）∵点N（1，3）在椭圆3x²+y²=λ内，

∴3·1²+3²<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∞）.

设AB两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有：

（1）-（2）：3（x₁-x₂）（x₁+x₂）

+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0      （3）

∵N(1，3)是线段AB的中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6.  代入（3）：      例4题解图

6（x₁-x₂）+6（y₁-y₂）=0，于是k_AB=，故直线AB的方程为：y-3= -（x-1），即x+y-4=0.

（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且k_AB=-1，∴k_CD=1，直线CD：y-3=1·（x-1），即x-y+2=0.直线AB的参数方程方程是：

∴代入椭圆方程得：，即2t²+12-λ=0.（由（1）知λ>12），设此方程之二根为t_A，t_B，则t_A·t_B =

直线CD的参数方程方程是：

代入椭圆方程得：，即2t²-6t+12-λ=0.

设此方程之二根为t_C ，t_D ，则t_C·t_D=

由（4），（5）知|t_A·t_B|=|t_C·t_D|，也就是│AN│·│BN│=│CN│·│DN│，这就是说，存在λ>12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.

【小结】   按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.

从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.

●对应训练

1.长为2的线段AB在抛物线y=x²上滑动，求AB中点的轨迹方程.

2.求过圆x²+y²-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.

3.已知直线y=-x+1与椭圆(a>b>0)交于A、B两点，且线段AB的中点在直线

l：x-2y=0上.（1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4

上，求此椭圆的方程.

4.已知，(a>0，a≠1，x>0)，判断f (x)的单调性，并证明你的结论.5.如图,已知直线l：x-ny=0（n∈N)，

圆M：(x+1)²+(y+1)² =1,

抛物线φ：y=(x-1)²，

l交M于A、B，

交φ于C、D，

求                                第5题图

●参考答案

1.无须设直线的点斜式解方程组.设A(x₁，y₁)，B (x₂，y₂)为抛物线y=x²上两点，那么：

设AB中点为M(x，y)，那么:

有:

∴|AB| ²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² =（1+4x² )（x₁-x₂)²

=（1+4x²)［（x₁+x₂)²-4x₁x₂］

=（1+4x²)［4x²-4（2x²-y)］

已知|AB|=2.  ∴（1+4x²）（y-x²）=1 所求点M的轨迹方程为：y=

2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为：x²+y²-2x+λ(x+2y-3)=0.

即x²+y²+（λ-2）x+2λy-3λ=0                                       ①

此圆的圆心为D

半径R=

∵直线x+3y-4=0与圆相切.

∴

化简得：λ²-4λ+4=0,∴λ=2.

代入①：x²+y²+4y-6=0                                        ②

②即为所求圆的方程.

3.无须先求直线与椭圆交点的坐标.

由

得AB中点为M,

∵点M在直线x-2y=0上，∴a²=2b².   即  a²=2(a²-c²)，∴a²=2c², e=

容易求得F(c,0)关于直线l：x-2y=0的对称点为F′.

代入x²+y²=4，得   c² = 4，从而a²=2c²=8，b²=c²=4.

则所求椭圆方程为  

4.无须先求函数的解析式.

设log_ax=t，则x= a^t，（t∈R).原函数式变形为:f (t)=或(x∈R).

∵

这里a≠0，无论a>1或0<a<1都有f ′(x)>0，故f (x)，从而原函数在其定义域内是增函数.5.无须分别求直线与曲线

的交点再求弦长，

如图，圆心M(-1，-1)到直线

x-ny=0的距离为：

∴|AB| ²=（2²=

由                第5题解图

设此方程之二根为x_C ，x_D，则

|CD|²=（x_C - x_D)²+(y_C - y_D)²=

于是：