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本讲教育信息】
一. 教学内容：
圆锥曲线章节复习
二. 重点、难点：
1. 重点：
椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
2. 难点：
直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用
三. 知识结构：
【典型例题】
[例1] 已知 ，试讨论当 的值变化时，方程 表示曲线的形状。
解：
（1）当 时，方程为 ，即 ，表示两条平行于 轴的直线。
（2）当 时， ，方程可化为 ，表示焦点在轴上的椭圆。
（3）当时，方程为，表示圆心在原点，半径为的圆。
（4）当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆。
（5）当时，方程化为，表示两条平行于轴的直线。
（6）当时，，，方程表示焦点在轴上的双曲线。
[例2] 已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4，）。
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，）在此双曲线上，求；
（3）求的面积。
解：
（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程
∵ 双曲线的一条渐近线方程为 ∴ 设双曲线方程为
把点（4，）代入双曲线方程得，
∴ 所求双曲线方程为
（2）由（1）知双曲线方程为
∴ 双曲线的焦点为、 ∵ M点在双曲线上
∴ ，
∴
（3）∵ ∴ ∴ 为直角三角形
∵
∴
[例3] 已知抛物线的焦点为A，以B（）为圆心，长为半径，在轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点。
（1）求的值；
（2）是否存在这样的值，使、、成等差数列？
解：如下图，A（） ∵ ∴ 圆的方程为
与联立得
∴ 解得
设 则，
∴
（2）设P（），则，
∴
∴
∴
若、成等差数列，则
∴
解得，这与矛盾
故不存在，使成等差数列
[例4] 已知双曲线与点P（1，2），过P点作直线与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点。
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明：不存在以Q为中点的弦。
方法一：（1）解：设过P（1，2）点的直线为，代入双曲线方程
得
由线段AB中点为P（1，2） ∴
解得，又时，使 从而直线AB方程为
（2）证明：按同样方法求得，而使，所以直线CD不存在
方法二：设A（）、B（），①，②
①－②得：
∴
写出直线方程，即，检验与双曲线有交点
[例5] 已知双曲线（，）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为，双曲线的一条渐近线为，问是否存在点P，使、、成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：假设存在点P（）满足题中条件
∵ 双曲线的一条渐近线为 ∴ ，
∴ ， 即
由，得①
∵ 双曲线的两准线方程为 ∴
∵ 点P在双曲线的左支上
∴ 代入①得
∴ ，代入，得②
∴ 存在点P使成等比数列，点P的坐标是（）
[例6] 如图，直线和相交于点M，，点N，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，，=3，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
解：方法一：以为轴，MN的中点O为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线段C所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点N是该抛物线的焦点，是准线。所以可令抛物线的方程为，过点A作，，垂足分别为Q和E，由于是锐角三角形，则点E必在线段MN上。
所以， ∵ ∴
∴
∴ 抛物线方程为
由上述可知，，点B到准线的距离为6，则点B的横坐标为4，又曲线段在轴上方，故曲线段C的方程为
方法二：以为轴，为轴建立如下图的直角坐标系，其中M点为原点，这时焦点N在轴上，顶点应是线段MN的中点。令曲线段C所在的抛物线方程为：
设
则：
由（1）－（2）得 代入（1）得
∴ ∵ ∴ ∵ ∴
代入（3）得 ∴ 曲线段C的方程为
[例7] 设分别为椭圆C：（）的左、右两个焦点。
（1）若椭圆C上的点A（1，）到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点。求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
解：（1）椭圆C的焦点在轴上 ∵ 椭圆上的点A到两点的距离和是4，得，即
又 ∵ 点A（ ）在椭圆上 ∴  ，得
∴  ∴ 椭圆C的方程为 ，焦点为 、
（2）设椭圆C上的动点为K（ ），线段F1K的中点Q（ ）满足：
 ∴ 
因此 即 为所求的轨迹方程
（3）类似的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么与之积是与点P位置无关的定值。证明如下：设点M的坐标为（ ），则点N的坐标为（ ），其中 。又设点P的坐标为（），由 ，= ，得
将 ， ，代入得 ，命题得证。
[例8] 直线 ： 与双曲线C： 的右支交于不同的两点A、B。
（1）求实数 的取值范围；
（2）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：
（1）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理，得 ①，依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，故
 解得的取值范围为
（2）设A、B两点的坐标分别为 ，则由①式得 ②，假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（ ），则由FA⊥FB得
即
整理得 ③
把②式及 代入③式化简得
解得 或 （舍去）
可得使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 椭圆 的一条准线为 ，则椭圆的离心率 等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
2. 双曲线 的离心率 ，则的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
3. 若椭圆  和双曲线  有相同的左、右焦点 、 ，P是两条曲线的一个交点，则 的值是（ ）
A.  B.  C.  D. 
4. 双曲线的焦点为、，弦AB过且两端点在双曲线的一支上，若 ，则 （ ）
A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 不为定值
5. 设P是椭圆 上一点，、是椭圆的两个焦点，则 的最小值是（ ）
A.  B.  C.  D.
6. 若点P在抛物线 上，点Q在圆 上，则 的最小值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
7. 抛物线 上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为（ ）
A.  B.  C.  D. 
8. 将离心率为 的椭圆 ，绕着它的左焦点按顺时针方向旋转 后，所得新椭圆的一条准线方程为 ，则新椭圆的另一条准线方程为（ ）
A.  B.  C.  D. 
二. 填空题
1. 已知、是双曲线 的两个焦点，PQ是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果 ，则双曲线的离心率是 。
2. 已知点 是椭圆 上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是 。
3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，这个正三角形的边长是 。
4. 抛物线 的弦AB垂直于轴，若 ，则焦点到AB的距离为 。
三. 解答题
1. 已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
2. 设AB是抛物线 上的动弦，且 （ 为常数），求弦AB中点M到轴的最近距离，并研究 的情况。
3. 求抛物线 上的点到直线 的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。
【试题答案】
一.
1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D
二.
1.  2.  3.  4.
三.
1. 解：∵ 椭圆的中心在原点，焦点在 轴上 ∴ 椭圆的方程为标准方程
∵  ∴  ∴ 椭圆的方程可写成
把直线 代入椭圆的方程并整理得 
∴  ∵ 弦的中点的横坐标为
∴  ， ∴  ∴ 所求椭圆的方程为
2. （1）解法一：设直线AB的方程为 ，A、B两点的坐标分别为 ，  由 得 ∴  
∴  ，化简得
点M到轴的距离为   
  
当且仅当 ，即  时“=”成立
解法二：设A、M、B点的纵坐标分别为 、 、 ，A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为 、 、
由抛物线的定义，知 ， 
∴  ， 又M是线段AB的中点
∴  ，等号在AB过焦点F时成立
∴ 当定长为 的弦过焦点F时，M点与轴的距离最近，最近距离为
（2）若，此时只能用解法一，得
令 ，得 
又 在 上是减函数，在 上是增函数
又，故在 上是增函数，故当 即 时，
3. 解法一：设 是抛物线上的点，则
∴  
∴ 当 ， 时， 有最小值2
此时抛物线上点的坐标为
解法二：由 无实根，知直线与抛物线没有公共点
设与直线平行的直线为
代入得 ①
设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点
∴  ，解得 ，代入①，得 ， ，即点 到直线的距离最近，最近距离
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