直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

 

二. 课标要求：

1. 通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；

2. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。

 

三. 命题走向：

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测高考：

1. 会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；

2. 与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。

 

【教学过程】

基本知识要点回顾：

1. 点M（x₀，y₀）与圆锥曲线C：f（x，y）＝0的位置关系

2. 直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切。这三种位置关系的判定条件可归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件。

3. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

设直线l：y＝kx＋n，圆锥曲线：F（x，y）＝0，它们的交点为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），

且由，消去y→ax²＋bx＋c＝0（a≠0），Δ＝b²－4ac。

则弦长公式为：

d＝＝＝＝。

 

【典型例题】

例1. 已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。

解：a＝3，b＝1，c＝2，则F（-2，0）。

由题意知：与联立消去y得：。

设A（、B（，则是上面方程的二实根，由韦达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点，

所以|AB|＝

点评：弦长公式的应用。

 

例2. 中心在原点，一个焦点为F₁（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。

解：设椭圆的标准方程为，由F₁（0，）得

把直线方程代入椭圆方程整理得：。

设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：

，又AB的中点横坐标为，

，与方程联立可解出

故所求椭圆的方程为：。

点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F₁（0，）知，c＝，，最后解关于a、b的方程组即可。

 

例3. （06辽宁卷）直线与曲线  的公共点的个数为（    ）

A. 1                     B. 2                      C. 3                     D. 4

解：将代入得：。

，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。

点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。也可数形结合。

 

例4. （2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F₁（，0）和F₂（2，0），长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

解：设椭圆C的方程为，

由题意a＝3，c＝2，于是b＝1。

∴椭圆C的方程为＋y²＝1。

由得10x²＋36x＋27＝0，

因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁＋x₂＝，

故线段AB的中点坐标为（）。

点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。

 

例5. （1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。

（2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

解：（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；

若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，

，  ∴，

，

当时，方程无解，不满足条件；

当时，方程有一解，满足条件；

当时，令，

化简得：无解，所以不满足条件；

所以满足条件的直线有两条和。

（2）把代入整理得：  （1）

当时，。

由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。

若A、B在双曲线的同一支，须>0 ，所以或。

故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。

 

例6. （1）求直线被双曲线截得的弦长；

（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。

解：（1）由得得（*）

设方程（*）的解为，则有   得，

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为，

由得（*）

设方程（*）的解为，则，

∴，

且，

∴，

得或。

方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则

得：，

∴，    即，     即（图象的一部分）

点评：（1）弦长公式；（2）有关中点弦问题的两种处理方法。

 

例7. 过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。

解：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则，

代入得，

∴即得，

∴，即得到。

点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。

 

例8. 已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。

解：设与抛物线交于

由距离公式|AB|＝＝

由

从而由于p>0，解得

点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。

 

例9. （2003上海春，4）直线y＝x－1被抛物线y²＝4x截得线段的中点坐标是_____。

答案：（3，2）

解一：设直线y＝x－1与抛物线y²＝4x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中点为P（x₀，y₀）。

由题意得，（x－1）²＝4x，x²－6x＋1＝0。

∴x₀＝＝3.y₀＝x₀－1＝2.∴P（3，2）。

解二：y₂²＝4x₂，y₁²＝4x₁，y₂²－y₁²＝4x₂－4x₁，

＝4.∴y₁＋y₂＝4，即y₀＝2，x₀＝y₀＋1＝3。

故中点为P（3，2）。

点评：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法。

 

例10. （1997上海）抛物线方程为y²＝p（x＋1）（p＞0），直线x＋y＝m与x轴的交点在抛物线的准线的右边。

（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；

（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；

（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x＋y＝m的距离为，求此直线的方程；

解：（1）抛物线y²＝p（x＋1）的准线方程是x＝－1－，直线x＋y＝m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得m＞－1－，即4m＋p＋4＞0。

由

得x²－（2m＋p）x＋（m²－p）＝0.

而判别式Δ＝（2m＋p）²－4（m²－p）＝p（4m＋p＋4）.

又p＞0及4m＋p＋4＞0，可知Δ＞0.

因此，直线与抛物线总有两个交点；

（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（1）知，x₁、x₂是方程x²－（2m＋p）x＋m²－p＝0的两根，

∴x₁＋x₂＝2m＋p，x₁·x₂＝m²－p.

由OQ⊥OR，得k_OQ·k_OR＝－1，

即有x₁x₂＋y₁y₂＝0.

又Q、R为直线x＋y＝m上的点，

因而y₁＝－x₁＋m，y₂＝－x₂＋m.

于是x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂－m（x₁＋x₂）＋m²＝2（m²－p）－m（2m＋p）＋m²＝0，

∴p＝f（m）＝，

由得m＞－2，m≠0；

（3）（文）由于抛物线y²＝p（x＋1）的焦点F坐标为（－1＋，0），于是有

，即|p－4m－4|＝4.

又p＝       ∴||＝4.

解得m₁＝0，m₂＝－，m₃＝－4，m₄＝－.

但m≠0且m＞－2，因而舍去m₁、m₂、m₃，故所求直线方程为3x＋3y＋4＝0。

点评：本题考查抛物线的性质与方程，抛物线与直线的位置关系，点到直线的距离，函数与不等式的知识，以及解决综合问题的能力。

 

例11. （06山东卷）已知抛物线y²＝4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则y₁²＋y₂²的最小值是          。

解：显然30，又＝4（）38，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。

点评：该题考查直线与抛物线位置关系下的部分求值问题，结合基本不等式求得最终结果。

 

例12. （07浙江文）如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S。

（I）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程

解：（I）设点A的坐标为，点B的坐标为，

由，解得

所以

当且仅当时，S取到最大值1。

（Ⅱ）由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

｜AB｜＝        ②

又因为O到AB的距离　　所以③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式检验，△＞0

故直线AB的方程是 

或或或。

点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

 

［思维小结］

1. 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习

由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设。用设不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查；

2. 关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法。有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；

3. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；

4. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。

 

【模拟试题】

一、选择题

1、如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

A.            B.               C.            D.

2  以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程为（     ）

A.                          B.       

C. 或       D. 以上都不对

3、过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（     ）

A.            B.                C.            D.

4、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（      ）

A.                   B.                    C.                   D.

5、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（    ）

A. 或                B.    

C. 或               D. 或

6、设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（    ）

A.                   B.                    C.               D. 无法确定

 

二、填空题

1、椭圆的离心率为，则的值为______________。

2、双曲线的一个焦点为，则的值为______________。

3、若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。

4、对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是___________。

5、若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是________。

6、设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则____________。

 

三、解答题

1、已知定点，是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使取得最小值。

2、代表实数，讨论方程所表示的曲线

3、双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。

4、已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。

 

【试题答案】

一、选择题

1、D  焦点在轴上，则

2、C  当顶点为时，；

当顶点为时，

3、C  Δ是等腰直角三角形，

4、C 

5、D  圆心为，设；

设

6、C  垂直于对称轴的通径时最短，即当

 

二、填空题

1、4或  当时，；

当时，

2、   焦点在轴上，则

3、  

中点坐标为

4、  设，由得

    恒成立，则

5、  渐近线方程为，得，且焦点在轴上

6、  设，则中点，得

，，

得即

 

三、解答题

1、解：显然椭圆的，记点到右准线的距离为

则，即

当同时在垂直于右准线的一条直线上时，取得最小值，

此时，代入到得

而点在第一象限，

2、解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；

当时，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；

当时，曲线为焦点在轴的椭圆；

当时，曲线为一个圆；

当时，曲线为焦点在轴的椭圆 

3、解：椭圆的焦点为，设双曲线方程为

过点，则，得a²＝4或36，而，

，双曲线方程为 

4、解：设抛物线的方程为，则消去得

，

则