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数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(二)

2013-11-28  720815
数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线(二)
湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理

8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中, ,且当为短轴端点时,最大为,当为短轴端点时,的最大值为bc对于双曲线的焦点三角形有:。比如:

 

短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于AB两点,则的周长为________(答:6);

 

P是等轴双曲线右支上一点,F1F2是左右焦点,若|PF1|=6,则该双曲线的方程为           (答: 

 

双曲线的虚轴长为4,离心率eF1F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于AB两点,且等差中项,则__________(答:);

 

已知双曲线的离心率为2F1F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且.求该双曲线的标准方程(答:);

 

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,AB在准线上的射影分别为AB,若PAB的中点,则PAPB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则AOC三点共线。

                              

10、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点AB,且分别为AB的横坐标,则,若分别为AB的纵坐标,则,若弦AB所在直线方程设为,则。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。比如:

 

过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1y1),Bx2y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);

 

过抛物线焦点的直线交抛物线于AB两点,已知|AB|=10O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);

 

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如:

 

如果椭圆弦被点A42)平分,那么这条弦所在的直线方程是        (答:

 

已知直线y=x+1与椭圆相交于AB两点,且线段AB的中点在直线Lx2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);

 

试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称(答:);

 

特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验

 

12.你了解下列结论吗

 

1)双曲线的渐近线方程为

 

2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,0)。

 

与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:

 

3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

 

4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为

 

5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

 

6)若抛物线的焦点弦为AB,则

 

7)若OAOB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点

 

13.动点轨迹方程

 

1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

 

2)求轨迹方程的常用方法:

 

直接法:直接利用条件建立之间的关系

 

已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:);

 

待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。

 

线段ABx轴正半轴上一点Mm0,端点ABx轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过AOB三点作抛物线,则此抛物线方程为                                (答:);

 

定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

 

(1)由动点P向圆作两条切线PAPB,切点分别为AB,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为                    (答:);2M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答:);(3) 一动圆与两圆⊙M和⊙N都外切,则动圆圆心的轨迹为        (答:双曲线的一支);

 

代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;

 

动点P是抛物线上任一点,定点为,M所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:);

 

参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

 

如(1AB是圆O的直径,且|AB|=2aM为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点,使,求点的轨迹。(答:);2若点在圆上运动,则点的轨迹方程是____(答:);3过抛物线的焦点F作直线交抛物线于AB两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答:);

 

注意如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c0)、F2c0),Q是椭圆外的动点,满足P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足1)设为点P的横坐标,证明;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2;(3)当时不存在;当时存在,此时∠F1MF22

 

 

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

 

③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

 

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

 

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容

 

1 给出直线的方向向量

 

2)给出相交,等于已知的中点;

 

3)给出,等于已知的中点;

 

4)给出,等于已知的中点三点共线;

 

5) 给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.

 

6 给出,等于已知的定比分点,为定比,即

 

7 给出,等于已知,是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

 

8)给出,等于已知的平分线/

 

9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;

 

10 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;

 

11)在中,给出,等于已知的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

 

12) 在中,给出,等于已知的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);

 

13)在中,给出,等于已知的垂心(三角形的心是三角形三条高的交点);

 

14)在中,给出等于已知通过的内心;

 

15)在中,给出等于已知的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

 

16 中,给出,等于已知边的中线;

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