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合肥市南门小学上派分校 陈昱 寒假与一众小学数学教师共读张奠宙先生等所著《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》一书，虽是春节期间各种事务缠身，但每天静下来读书的感觉特别好，原定20天的阅读任务15天便完成！且读且思，现就该书附录文章《面向未来 大胆创新——一套俄罗斯小学数学教材引发的谈话》谈谈阅读感受。 一、“因材施教”从理念到实践：教材与课程的重要性 文章围绕一套俄罗斯小学数学教材展开讨论，这套“适合数学能力较强的学生使用”的“新型教科书”引起了张奠宙教授、倪明社长和唐彩斌校长的高度关注，讨论的问题基于与我国数学教材的比较性思考。孔子时代起我们就有“因材施教”思想，“不同的人学习不同的数学”是课改以来我国数学课程的基本理念之一，但是这些理念落实度如何？为什么人人皆知的理念一直只是“口号”？无法落地的关键性原因在哪里？ 1.“怎么教”与“教什么”的思辨 正如张先生所言，我们的课改多在“怎么教”上下功夫，诸如情境创设、呈现方式、分组学习等教学方式上强调的多、探索的多，甚至有时候过犹不及；相比之下，我们很少在“教什么”上有突破，虽然我们的数学教材改了很多版，但真正涉及数学思想体系的并不多。 而在“因材施教”方面，我们也是止步于教学方式方法，课外的“奥数”学习又被“应试加分”的功利化考量变成学生和家长的“痛点”。我们的教材都是面向广大学生的，不要说满足个性化需求，就连地域和城乡差别也只能在同一套教材中“兼顾”；而“兼顾”的结果往往是“不顾”。 在这些教育问题上，著名学者郑也夫指出：中国教育一方面把学习潜力不算太强的人的考试能力极大提升，另一方面把一些学习潜力非常优异的人的能力下压。这显然已经与“因材施教”背道而驰了。反观我们的数学教学，据我所知我所在的区域基础教育阶段几乎所有的学校所有班级都有“学困生辅导”措施和实践做法，却几乎没有“培优”措施与实践做法，你若要就此随机问询一位数学教师，他给出的解释估计会是：“学困生”的成绩对教学成绩影响太大了，必须要抓；而优秀生你不怎么关注他也会学得很好，对教学成绩影响不大。原因还是在于我们的教育评价方式，甚至可以说我们的教育是一种追求平均分的教育。更糟糕的是，我们的“学困生辅导”很大程度上偏离了学习的本义，即没有学习的乐趣，直奔考试分数而去！这种情况不止于“学困生”，而是整个学生群体，在过多的“复习”“考试”中丧失了对学习的兴趣，难怪我们出不了杰出人才，难怪我们缺乏创新能力。 回到数学教育的“因材施教”上来，没有“因材施教”的数学学习评价导向和保障体制，没有“因材施教”的数学教材和课程实施路径，只是在教学方式上优化改革，不是说没有作用，但是作用实在有限。在这个意义上说，的确“教什么”比“怎么教”重要。补充一句，在课改中起作用的“怎么教”的努力往往会在现实的评价体制面前土崩瓦解或裹足不前；如果换成“教什么”上的改善则会更大程度地促进评价方式的改善。 2.“自上而下”推行的要义 那么，我们是如何确定“教什么”等重大问题的呢？我们的课改是自上而下推行的，这里有教育方针、课改政策、课标理念、教材呈现、课程路径、课堂落实等等一系列的环节，其优势是便于大面积高效率推进，其可能存在的问题主要有两个，即设计的合理性和理念的落实如何保障？ 在阅读本书过程中，张先生为小学数学教育的倾力倾心深深打动了我。同样的感动，也发生在我阅读郑毓信教授的著述时，还有聆听苏明强教授的“下水课”时……希望能有更多的大学学者能像张先生一样，基础教育需要这样有高站位的学者的参与和引领。一个民族的发展主要取决于其基础教育的品质啊！自上而下的课改，需要教授专家乃至教育管理决策者们真正关心和了解基础教育。也需要我们一线教师有学习、教学、研究的积极性主动性，并获得学习、教学、研究的科学方法和能力，这有关“用优秀的人培养更优秀的人”的话题，就不再生发了。 本文有提及俄罗斯的学制，基础教育11年，小学4年。这让我想起五四学制的上海课改。这是区域性的基于实践经验和调查研究的改革，上海课改所面临的问题、所采取的对策和所取得的成绩和经验值得重视和研究。数学教育而言，上海有自己的沪教版教材，并结合自己的教研体制寻求自己的数学课程落实路径，形成自己的数学教育特色。我非常喜欢上海静安区数学教研员、特级教师曹培英老师的著作和讲座，为什么？因为曹先生既有数学教学实践又有数学、教育学和心理学方面的知识储备，并且能够将两者水乳交融，真正做到“数学眼光和儿童视角”，真正落实“因材施教”。 二、“图画”引儿童学数学：数形结合的重要性 上面谈的侧重于中观宏观，失于大和虚，有点读书而空谈的意味（话说回来，读书若不允许“空谈”，还读什么劲？）；接下来讲讲实实在在的数学教学。 本文三位作者连声感叹这套俄罗斯教材的“知识难度”，竟将方程、集合、函数等数学知识放到小学低中年级教学！怎么做到的？除了面向数学能力较强学生之外，我注意到这套教材的一个编写特点，那就是非常注重数形结合，表现出来的就是教材中“图画”的大量运用。小学数学教学无非就是引导儿童学习数学，本人以为：在儿童和数学之间，数形结合是最好的桥梁（注意，没有之一）。 1.变“先数后形”为“先形后数”：半抽象的“形”成为数学学习的“脚手架” 图1：俄罗斯一年级教材中的加法 我们的小学一年级数学一般是从认识1-10的数开始的，接着是1-5数的加减；俄罗斯这套教材是从认识线段、三角形、圆、正方形、长方形等图形开始的，然后用这些图形作为集合的元素，教学“不相交集合之并集”即加法，还有加法交换律等，在后面才出现数字1。 个人以为，这套教材编排上“先形后数”的一个重要原因应该是要借用半抽象的“形”（如三角形、圆形、正方形等）作为符号元素引导一年级儿童学习集合等知识，这样儿童容易借助“形”的直观性促进理解抽象内容。有了“形”这个脚手架，后面就可以实施普遍认为比较“难”和“复杂”的数学教学了。 2.无处不在的“以形助数”：直观的“形”成为数学理解的纽带 图2：俄罗斯一年级教材中的方程
俄罗斯一年级教材中出现只有加减符号的方程，主要是借助线段图帮助学生解方程，有了线段图的直观呈现，学生理解方程求解过程的合理性就方便多了，可以说“一图胜千言”、“有图有真相”，图画具有一种“简单的深刻”，无需语言和各种定理的解释。 俄罗斯二年级教材有含乘除号的方程，具体是利用矩形的长、宽和面积表征方程中的两个因数和积，再依据矩形面积等于长乘宽的公式，看未知数x所在位置是相当于面积还是边长，再分别选择除法或乘法来求出x的值。 这样，有了线段图和矩形图这样的直观图形的辅助，可以大大增进儿童的数学理解，二年级儿童就可以解出形如ax＋－b=c＋－dx的一元一次方程（系数为正整数）了。如果没有这些直观图，这样的学习就会困难得多甚至无法进行。 3.有趣的“图形规律”：变换的“形”成为思维发展的催化剂 图4：俄罗斯教材中的“找规律” 张先生在书中多次谈到我国现行数学教材中“找规律”这一教学内容有问题，其一总是让学生在重复中归纳规律，缺少学生自己创造规律；其二呈现的多为重复两三次就被认为是“唯一规律”的现象，不仅限定了学生的想象力和创造力，而且是不严谨的。 与此相对的，俄罗斯教材里的“找规律”则相对科学和复杂得多（见图4）。这是一种图形变换规律，需要学生“分而辨之，合而得之”，思维含量相当大。之所以学生可以完成这类比较复杂的找规律，是因为图形的直观性令复杂的组合规律“一目了然”。比如图4左边的题，学生可以先分别关注小人的身体位置、手臂、脚这三个元素的变化规律，再进行整合最后得到正确图案。在这样的观察、寻找、先分后和等一系列活动过程中，学生的思维水平得到提升。 4.坐标角中的“运动图象”：解析的“形”成为函数学习的支撑 图5：俄罗斯教材中行程问题的示意图 图6：俄罗斯教材中行程问题的函数图象 图7：俄罗斯教材中的函数图象 正如张先生所言，俄罗斯教材中的行程问题比我们的教学立意要高得多，不仅配有行程问题各种情况的线形示意图，更有在坐标角上画出运动的图象，目标是数学建模，引出正比例函数。学生在绘制和观察这些图象时，数与形相互印证，直观、形象、自然地感受到函数的“变与不变”思想，从而支撑起学生头脑中函数概念的建构。 5.清晰的逻辑框图：可视的“形”成为算法程式化的路径 图8：俄罗斯教材中的算法逻辑框图 近年来，思维可视化的研究和讨论比较热门，数形结合也是一种思维可视化。个人以为，思维可视化不一定有“可看见”的图，还可以是一种清晰的思路，比如借助问题串起来的思维路径，也可以叫思维可视化。 提及算法，是一套逻辑框架，一种程式化的序。这种程式化思维与计算机语言与编程有关，还与函数关系有联系，可以帮助儿童感受数学的有序性、简洁性与客观性。 我想，文章里引用的俄罗斯数学教材内容只是一小部分，那么有关数形结合的案例和种类可能还有更多。这些图形、图示、图像、图表以及框架图都是在辅助儿童的数学学习，真不敢设想如果不用这些“形”，这套教材还可以实施吗？当然这是一个不可能发生的问题，因为数形从来是“不分家”的。 陈昱2019年2月14日于家中 |
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